ENEM 2023 – Matemática resolvida: questões 136 a 150

Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo.

A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2023 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 136 a 150. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem.

Gabarito

Questão 136: Pacotes de pão para a caminhada (proporção)

Enunciado

Alguns estudos comprovam que os carboidratos fornecem energia ao corpo, preservam as proteínas estruturais dos músculos durante a prática de atividade física e ainda dão força para o cérebro coordenar os movimentos, o que de fato tem impacto positivo no desenvolvimento do praticante. O ideal é consumir 1 grama de carboidrato para cada minuto de caminhada.

CIRINO, C. Boa pergunta: consumir carboidratos antes dos exercícios melhora o desempenho do atleta? Revista Saúde! É Vital, n. 330, nov. 2010 (adaptado).

Um casal realizará diariamente 30 minutos de caminhada, ingerindo, antes dessa atividade, a quantidade ideal de carboidratos recomendada. Para ter o consumo ideal apenas por meio do consumo de pão de fôrma integral, o casal planeja garantir o suprimento de pães para um período de 30 dias ininterruptos. Sabe-se que cada pacote desse pão vem com 18 fatias, e que cada uma delas tem 15 gramas de carboidratos.

A quantidade mínima de pacotes de pão de fôrma necessários para prover o suprimento a esse casal é

• A) 1.
• B) 4.
• C) 6.
• D) 7.
• E) 8.

Resolução

1. Carboidrato necessário. São 2 pessoas, cada uma precisando de 30 g por dia (1 g por minuto, 30 minutos), durante 30 dias:

2. Carboidrato em um pacote. 18 fatias de 15 g:

3. Número de pacotes.

Com 6 pacotes ($1620$ g) falta carboidrato; é preciso comprar pacotes inteiros, então o mínimo é 7.

Resposta: alternativa D (7 pacotes).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa C (6) vem de arredondar 6,67 para baixo, e a B (4) vem de esquecer que são duas pessoas ($900 / 270 \approx 3{,}3$, que arredondado para cima dá 4).

Para revisar, veja Proporções.

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Questão 137: Cabos de aço do mastro (trigonometria)

Enunciado

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto $P$ do mastro, a uma altura $h$ do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo $\alpha$ com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: $h = 11$ m e $\alpha = 30°$
• opção II: $h = 12$ m e $\alpha = 45°$
• opção III: $h = 18$ m e $\alpha = 60°$

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

A) $\dfrac{22\sqrt{3}}{3}$

B) $11\sqrt{2}$

C) $12\sqrt{2}$

D) $12\sqrt{3}$

E) $22$

Resolução

1. O triângulo retângulo. O mastro, o chão e o cabo formam um triângulo retângulo. O cabo é a hipotenusa $L$, a altura $h$ é o cateto oposto ao ângulo $\alpha$. Então

2. Calcular cada opção.

• opção I: $L = \dfrac{11}{\frac{1}{2}} = 22$ m;
• opção II: $L = \dfrac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$ m;
• opção III: $L = \dfrac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78$ m.

3. Escolher a menor. A menor medida é a da opção II, $12\sqrt{2}$ m.

Resposta: alternativa C ($12\sqrt{2}$ m).

Cuidado com a pegadinha: a menor altura (opção I, $h = 11$) não dá o menor cabo: com ângulo pequeno, o cabo fica longo. As alternativas E e D são os cabos das opções I e III. Já a A ($\frac{22\sqrt{3}}{3}$) aparece se usarmos o cosseno no lugar do seno na opção I: $\frac{11}{\cos 30°} = \frac{22}{\sqrt{3}}$.

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Questão 138: Escala da tela do controlador de voo

Enunciado

Um controlador de voo dispõe de um instrumento que descreve a altitude de uma aeronave em voo, em função da distância em solo. Essa distância em solo é a medida na horizontal entre o ponto de origem do voo até o ponto que representa a projeção ortogonal da posição da aeronave, em voo, no solo. Essas duas grandezas são dadas numa mesma unidade de medida.

A tela do instrumento representa proporcionalmente as dimensões reais das distâncias associadas ao voo. A figura apresenta a tela do instrumento depois de concluída a viagem de um avião, sendo a medida do lado de cada quadradinho da malha igual a 1 cm.

Essa tela apresenta os dados de um voo cuja maior altitude alcançada foi de 5 km.

A escala em que essa tela representa as medidas reais é

• A) 1 : 5.
• B) 1 : 11.
• C) 1 : 55.
• D) 1 : 5 000.
• E) 1 : 500 000.

Resolução

1. Medida no desenho. O trecho mais alto do gráfico (a parte horizontal) está na altura de 1 quadradinho, ou seja, 1 cm na tela.

2. Medida real na mesma unidade. A escala compara medidas na mesma unidade:

3. Escala. 1 cm na tela corresponde a 500 000 cm na realidade:

Resposta: alternativa E (1 : 500 000).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa A (1 : 5) esquece de converter km para cm, e a D (1 : 5 000) converte só até metro.

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Questão 139: Dia de maior gasto calórico

Enunciado

Uma pessoa pratica quatro atividades físicas — caminhar, correr, andar de bicicleta e jogar futebol — como parte de seu programa de emagrecimento. Essas atividades são praticadas semanalmente de acordo com o quadro, que apresenta o número de horas diárias por atividade.

Ela deseja comemorar seu aniversário e escolhe o dia da semana em que o gasto calórico com as atividades físicas praticadas for o maior. Para tanto, considera que os valores dos gastos calóricos das atividades por hora (cal/h) são os seguintes:

O dia da semana em que será comemorado o aniversário é

• A) segunda-feira.
• B) terça-feira.
• C) quarta-feira.
• D) quinta-feira.
• E) sexta-feira.

Resolução

Em cada dia, o gasto é a soma de (horas da atividade) × (gasto por hora).

1. Calcular dia a dia.

2. Escolher o maior. O maior gasto é na quarta-feira (1 748 cal).

Resposta: alternativa C (quarta-feira).

Cuidado com a pegadinha: a quinta-feira tem a maior quantidade de horas da atividade mais “cara” (correr), mas no total gasta menos. E segunda (1 614) e sexta (1 612) ficam muito próximas; é preciso fazer a conta com atenção.

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Questão 140: Desconto na compra de papel ofício

Enunciado

A cada bimestre, a diretora de uma escola compra uma quantidade de folhas de papel ofício proporcional ao número de alunos matriculados. No bimestre passado, ela comprou 6 000 folhas para serem utilizadas pelos 1 200 alunos matriculados. Neste bimestre, alguns alunos cancelaram suas matrículas e a escola tem, agora, 1 150 alunos. A diretora só pode gastar R$ 220,00 nessa compra, e sabe que o fornecedor da escola vende as folhas de papel ofício em embalagens de 100 unidades a R$ 4,00 a embalagem. Assim, será preciso convencer o fornecedor a dar um desconto à escola, de modo que seja possível comprar a quantidade total de papel ofício necessária para o bimestre.

O desconto necessário no preço final da compra, em porcentagem, pertence ao intervalo

• A) (5,0 ; 5,5).
• B) (8,0 ; 8,5).
• C) (11,5 ; 12,5).
• D) (19,5 ; 20,5).
• E) (3,5 ; 4,0).

Resolução

1. Folhas por aluno. $\dfrac{6\thinspace 000}{1\thinspace 200} = 5$ folhas por aluno.

2. Folhas necessárias agora. $1\thinspace 150 \cdot 5 = 5\thinspace 750$ folhas.

3. Embalagens. As folhas vêm em embalagens de 100, e não dá para comprar meia embalagem: $5\thinspace 750 / 100 = 57{,}5$, então são necessárias 58 embalagens.

4. Preço sem desconto. $58 \cdot 4 = 232$ reais.

5. Desconto necessário. O preço precisa cair de 232 para 220, uma redução de 12 reais:

que está no intervalo (5,0 ; 5,5).

Resposta: alternativa A.

Cuidado com a pegadinha: quem usa 57,5 embalagens (R$ 230,00) encontra um desconto de $\frac{10}{230} \approx 4{,}35\%$, que não está em nenhum intervalo. Na prática só se compram embalagens inteiras.

Para revisar, veja Aumentos e Descontos.

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Questão 141: Calendário maia (anos Tzolkim e Haab)

Enunciado

O calendário maia apresenta duas contagens simultâneas de anos, o chamado ano Tzolkim, composto por 260 dias e que determinava o calendário religioso, e o ano Haab, composto por 365 dias e que determinava o calendário agrícola. Um historiador encontrou evidências de que gerações de uma mesma família governaram certa comunidade maia pelo período de 20 ciclos, sendo cada ciclo formado por 52 anos Haab.

Disponível em: www.suapesquisa.com. Acesso em: 20 ago. 2014.

De acordo com as informações fornecidas, durante quantos anos Tzolkim aquela comunidade maia foi governada por tal família?

• A) 741
• B) 1 040
• C) 1 460
• D) 2 100
• E) 5 200

Resolução

1. Total de anos Haab. $20 \cdot 52 = 1\thinspace 040$ anos Haab.

2. Converter para dias. Cada ano Haab tem 365 dias:

3. Converter para anos Tzolkim (260 dias cada):

(Mais rápido: $\frac{1040}{260} = 4$, e $4 \cdot 365 = 1\thinspace 460$.)

Resposta: alternativa C (1 460 anos Tzolkim).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (1 040) é o número de anos Haab, não Tzolkim. E a A (741) vem de fazer a conversão ao contrário ($1\thinspace 040 \cdot \frac{260}{365} \approx 741$): como o ano Tzolkim é mais curto, o mesmo período tem mais anos Tzolkim.

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Questão 142: As pizzas do professor (Pitágoras)

Enunciado

Sejam $a$, $b$ e $c$ as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo $a$ como medida da hipotenusa. Esses valores $a$, $b$ e $c$ são, respectivamente, os diâmetros dos círculos $C_1$, $C_2$ e $C_3$, como apresentados na figura.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área ($C_1$) = área ($C_2$) + área ($C_3$).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

A partir da medida do ângulo $\alpha$, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

• A) $0° < \alpha < 90°$
• B) $\alpha = 90°$
• C) $90° < \alpha < 180°$
• D) $\alpha = 180°$
• E) $180° < \alpha < 360°$

Resolução

1. Área e diâmetro. Um círculo de diâmetro $d$ tem área $\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} d^2$. Então comparar áreas é o mesmo que comparar os quadrados dos diâmetros.

Sejam $p$ o diâmetro da pizza do professor e $m$, $n$ os diâmetros das pizzas dos amigos. A área do professor é maior que a soma das outras quando

2. O ângulo oposto. No triângulo formado, o ângulo $\alpha$ fica entre os lados $m$ e $n$, de frente para o lado $p$. Pela lei dos cossenos:

• se $\alpha = 90°$, $\cos\alpha = 0$ e $p^2 = m^2 + n^2$ (é o caso de Pitágoras, áreas iguais);
• se $\alpha > 90°$, $\cos \alpha < 0$ e $p^2 > m^2 + n^2$;
• se $\alpha < 90°$, $\cos \alpha > 0$ e $p^2 < m^2 + n^2$.

3. Limites do ângulo. $\alpha$ é ângulo interno de um triângulo, então é menor que $180°$.

Portanto a área do professor é maior exatamente quando $90° < \alpha < 180°$.

Resposta: alternativa C.

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B ($\alpha = 90°$) é a situação da figura com os círculos, que dá áreas iguais, não maior. As alternativas D e E são impossíveis: um ângulo interno de triângulo é sempre menor que 180°.

Para revisar, veja Teorema de Pitágoras e Área do Círculo.

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Questão 143: Unidade da economia de corrida

Enunciado

Entre maratonistas, um parâmetro utilizado é o de economia de corrida (EC). O valor desse parâmetro é calculado pela razão entre o consumo de oxigênio, em mililitro (mL) por minuto (min), e a massa, em quilograma (kg), do atleta correndo a uma velocidade constante.

Disponível em: www.treinamentoonline.com.br. Acesso em: 23 out. 2019 (adaptado).

Um maratonista, visando melhorar sua performance, auxiliado por um médico, mensura o seu consumo de oxigênio por minuto a velocidade constante. Com base nesse consumo e na massa do atleta, o médico calcula o EC do atleta.

A unidade de medida da grandeza descrita pelo parâmetro EC é

A) $\dfrac{\text{min}}{\text{mL} \cdot \text{kg}}$

B) $\dfrac{\text{mL}}{\text{min} \cdot \text{kg}}$

C) $\dfrac{\text{min} \cdot \text{mL}}{\text{kg}}$

D) $\dfrac{\text{min} \cdot \text{kg}}{\text{mL}}$

E) $\dfrac{\text{mL} \cdot \text{kg}}{\text{min}}$

Resolução

1. Unidade do consumo de oxigênio. “Mililitro por minuto”: mL/min.

2. Dividir pela massa (kg). O EC é a razão entre o consumo e a massa:

Dividir por kg é multiplicar o denominador por kg.

Resposta: alternativa B (mL/(min · kg)).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa E multiplica pela massa em vez de dividir. Lembre: “razão entre X e Y” é $X \div Y$.

Para revisar, veja Taxas.

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Questão 144: Quando parar a produção do produto II

Enunciado

O gerente de uma fábrica pretende comparar a evolução das vendas de dois produtos similares (I e II). Para isso, passou a verificar o número de unidades vendidas de cada um desses produtos em cada mês. Os resultados dessa verificação, para os meses de abril a junho, são apresentados na tabela.

O gerente estava decidido a cessar a produção do produto II no mês seguinte àquele em que as vendas do produto I superassem as do produto II.

Suponha que a variação na quantidade de unidades vendidas dos produtos I e II se manteve, mês a mês, como no período representado na tabela.

Em qual mês o produto II parou de ser produzido?

• A) Junho.
• B) Julho.
• C) Agosto.
• D) Setembro.
• E) Outubro.

Resolução

1. Variação mensal. O produto I aumenta 10 unidades por mês e o produto II diminui 20 unidades por mês (duas progressões aritméticas).

2. Continuar a tabela.

3. Primeiro mês em que I supera II. Em julho ainda temos $110 < 130$; em agosto, $120 > 110$. Então as vendas de I superam as de II em agosto.

4. Mês seguinte. A produção de II para no mês seguinte: setembro.

Resposta: alternativa D (setembro).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa C (agosto) é o mês em que I supera II; o enunciado pede o mês seguinte a esse.

Para revisar, veja Progressão Aritmética.

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Questão 145: Média, mediana e moda das viagens

Enunciado

Uma empresa de transporte faz regularmente um levantamento do número de viagens realizadas durante o dia por todos os 160 motoristas cadastrados em seu aplicativo. Em um certo dia, foi gerado um relatório, por meio de um gráfico de barras, no qual se relacionaram a quantidade de motoristas com a quantidade de viagens realizadas até aquele instante do dia.

Comparando os valores da média, da mediana e da moda da distribuição das quantidades de viagens realizadas pelos motoristas cadastrados nessa empresa, obtém-se

• A) mediana = média < moda.
• B) mediana = moda < média.
• C) mediana < média < moda.
• D) moda < média < mediana.
• E) moda < mediana < média.

Resolução

1. Ler o gráfico. Cada barra diz quantos motoristas fizeram aquele número de viagens:

Total: $10 + 10 + 55 + 25 + 0 + 50 + 10 = 160$ motoristas, como diz o enunciado.

2. Moda. O valor com mais motoristas é 3 viagens (55 motoristas).

3. Mediana. Com 160 dados, a mediana é a média do 80º e do 81º valores (em ordem). Acumulando: até 1 viagem, 10; até 2, 20; até 3, 75; até 4, 100. O 80º e o 81º estão no grupo de 4 viagens, logo a mediana é 4.

4. Média.

5. Comparar. $3 < 4 < 4{,}16$, ou seja, moda < mediana < média.

Resposta: alternativa E.

Cuidado com a pegadinha: no gráfico, os números de viagens estão no eixo vertical e as quantidades de motoristas no horizontal. Quem troca os papéis (tratando 10, 55, 25… como os dados) chega a comparações erradas.

Para revisar, veja Medidas de Posição.

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Questão 146: Vazão que enche a cisterna

Enunciado

A foto mostra a construção de uma cisterna destinada ao armazenamento de água. Uma cisterna como essa, na forma de cilindro circular reto com 3 m² de área da base, foi abastecida por um curso-d’água com vazão constante. O seu proprietário registrou a altura do nível da água no interior da cisterna durante o abastecimento em diferentes momentos de um mesmo dia, conforme o quadro.

Qual foi a vazão, em metro cúbico por hora, do curso-d’água que abasteceu a cisterna?

• A) 0,3
• B) 0,5
• C) 0,9
• D) 1,8
• E) 2,7

Resolução

1. Velocidade de subida do nível. Entre 6:00 e 8:00 (2 horas) o nível subiu $1{,}1 - 0{,}5 = 0{,}6$ m, ou seja, $0{,}3$ m por hora. Conferindo nos outros intervalos: $\frac{2{,}3 - 1{,}1}{4} = 0{,}3$ e $\frac{3{,}2 - 2{,}3}{3} = 0{,}3$.

2. Volume por hora. Num cilindro, volume = área da base × altura. A cada hora entram

Resposta: alternativa C (0,9 m³/h).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa A (0,3) é a velocidade de subida do nível (em m/h), não a vazão. Falta multiplicar pela área da base.

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Questão 147: Passe para o jogador com o mesmo ângulo (arco capaz)

Enunciado

Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto $Q_1$ representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$, $Q_5$ e $Q_6$ também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos $A$ e $B$ indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador $Q_1$ tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições $Q_n$, $n \in \lbrace 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$, cujo ângulo $A\widehat{Q_n}B$ tenha a mesma medida do ângulo $\alpha = A\widehat{Q_1}B$.

Qual é o jogador que receberá a bola?

• A) $Q_2$
• B) $Q_3$
• C) $Q_4$
• D) $Q_5$
• E) $Q_6$

Resolução

1. Arco capaz. Todos os pontos de um mesmo arco de circunferência que passa por $A$ e $B$ “enxergam” o segmento $AB$ sob o mesmo ângulo. Isso vem do teorema do ângulo inscrito: ângulos inscritos que determinam o mesmo arco $AB$ têm a mesma medida (metade do arco).

2. Procurar a circunferência de $Q_1$. As circunferências tracejadas da figura passam todas por $A$ e $B$. Seguindo a que passa por $Q_1$, vemos que ela passa também por $Q_3$ (do mesmo lado de $AB$).

3. Os outros jogadores. $Q_2$ e $Q_4$ estão em circunferências menores (mais perto da trave, veem $AB$ sob ângulo maior); $Q_5$ e $Q_6$ estão em circunferências maiores (veem $AB$ sob ângulo menor).

Portanto o ângulo $A\widehat{Q_3}B$ é igual a $\alpha$.

Resposta: alternativa B ($Q_3$).

Cuidado com a pegadinha: $Q_2$ está na mesma reta que $A$ e $Q_1$, o que pode enganar, mas estar alinhado não garante o mesmo ângulo. O que importa é estar na mesma circunferência que passa por $A$, $B$ e $Q_1$.

Para revisar, veja Ângulo inscrito.

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Questão 148: Triângulo mágico

Enunciado

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

• A) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
• B) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
• C) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
• D) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
• E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Resolução

1. Vértices possíveis. Três números de 1 a 6 em PA de razão 2: $\lbrace 1, 3, 5 \rbrace$ ou $\lbrace 2, 4, 6 \rbrace$. Não há outra opção (começando em 3, o terceiro termo seria 7).

2. Soma de cada lado. Somando os três lados, cada vértice é contado duas vezes (pertence a dois lados) e cada número do meio uma vez. Como $1 + 2 + \dots + 6 = 21$, se $V$ é a soma dos vértices e $S$ a soma de cada lado:

• vértices $1, 3, 5$: $V = 9$, então $3S = 30$ e $S = 10$;
• vértices $2, 4, 6$: $V = 12$, então $3S = 33$ e $S = 11$.

3. Conferir que cada caso funciona.

• $S = 10$: entre 1 e 3 fica $10 - 4 = 6$; entre 3 e 5 fica $10 - 8 = 2$; entre 1 e 5 fica $10 - 6 = 4$. Usa 2, 4, 6. ✔
• $S = 11$: entre 2 e 4 fica $11 - 6 = 5$; entre 4 e 6 fica $11 - 10 = 1$; entre 2 e 6 fica $11 - 8 = 3$. Usa 1, 3, 5. ✔

São duas soluções, com somas 10 e 11.

Resposta: alternativa E.

Para revisar, veja Progressão Aritmética.

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Questão 149: Sorteio do quarto com cartões (probabilidade)

Enunciado

No alojamento de uma universidade, há alguns quartos com o padrão superior ao dos demais. Um desses quartos ficou disponível, e muitos estudantes se candidataram para morar no local. Para escolher quem ficará com o quarto, um sorteio será realizado. Para esse sorteio, cartões individuais com os nomes de todos os estudantes inscritos serão depositados em uma urna, sendo que, para cada estudante de primeiro ano, será depositado um único cartão com seu nome; para cada estudante de segundo ano, dois cartões com seu nome; e, para cada estudante de terceiro ano, três cartões com seu nome. Foram inscritos 200 estudantes de primeiro ano, 150 de segundo ano e 100 de terceiro ano. Todos os cartões têm a mesma probabilidade de serem sorteados.

Qual a probabilidade de o vencedor do sorteio ser um estudante de terceiro ano?

• A) $\frac{1}{2}$
• B) $\frac{1}{3}$
• C) $\frac{1}{8}$
• D) $\frac{2}{9}$
• E) $\frac{3}{8}$

Resolução

Os cartões é que são equiprováveis, não os estudantes. Então contamos cartões.

1. Cartões de cada ano.

• 1º ano: $200 \cdot 1 = 200$ cartões;
• 2º ano: $150 \cdot 2 = 300$ cartões;
• 3º ano: $100 \cdot 3 = 300$ cartões.

Total: $800$ cartões.

2. Probabilidade.

Resposta: alternativa E ($\frac{3}{8}$).

Cuidado com a pegadinha: contar estudantes em vez de cartões dá $\frac{100}{450} = \frac{2}{9}$, a alternativa D.

Para revisar, veja Introdução à Probabilidade.

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Questão 150: Racionamento de água do reservatório

Enunciado

A água utilizada pelos 75 moradores de um vilarejo provém de um reservatório de formato cilíndrico circular reto cujo raio da base mede 5 metros, sempre abastecido no primeiro dia de cada mês por caminhões-pipa. Cada morador desse vilarejo consome, em média, 200 litros de água por dia.

No mês de junho de um determinado ano, o vilarejo festejou o dia do seu padroeiro e houve um gasto extra de água nos primeiros 20 dias. Passado esse período, as pessoas verificaram a quantidade de água presente no reservatório e constataram que o nível da coluna de água estava em 1,5 metro. Decidiram, então, fazer um racionamento de água durante os 10 dias seguintes. Considere 3 como aproximação para $\pi$.

Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?

• A) 50
• B) 60
• C) 80
• D) 140
• E) 150

Resolução

1. Água que restou. Volume do cilindro com raio 5 m e altura 1,5 m:

(1 m³ = 1 000 L.)

2. Quanto cada morador pode gastar por dia. A água precisa durar 10 dias para 75 pessoas:

3. Economia. Cada um consumia 200 L e agora pode usar 150 L:

Resposta: alternativa A (50 litros).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa E (150) é quanto cada morador ainda pode consumir, não quanto deve economizar.

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