Euler's Eyes
2026-10-23
Fórmulas de adição
Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma $(a + b)$ e da diferença $(a - b)$ de dois números reais quaisquer $a$ e $b$, conhecidas as funções circulares de $a$ e de $b$.
A história
No Almagesto, Ptolomeu provou que, num quadrilátero inscrito, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos — o teorema de Ptolomeu. Aplicado a um quadrilátero com um lado igual ao diâmetro, ele dá exatamente as fórmulas da corda da soma e da diferença de dois arcos, que Ptolomeu usou para montar a sua tábua de meio em meio grau. Na forma de senos, as fórmulas aparecem com o astrônomo persa Abu al-Wafa (século X), que já conhecemos no capítulo II. A demonstração que faremos — pela distância entre dois pontos — usa a geometria analítica de Descartes e é bem mais recente.
cordas de 36°, 60°, 72°, 90°, 120°"] --> B["corda da diferença
72° − 60° = 12°"] B --> C["corda da metade
6°, 3°, 1½°, ¾°"] C --> D["desigualdade
corda de 1°"] D --> E["metade
corda de ½°"] E --> F["soma de ½° em ½°
tábua completa até 180°"]
Fontes: Ptolomeu (MacTutor) · Abu al-Wafa (MacTutor).
No dia a dia
- Girar imagens. Para girar um ponto $(x, y)$ de um ângulo $\theta$, os programas de imagem calculam $(x\cos\theta - y\operatorname{sen}\theta,\; x\operatorname{sen}\theta + y\cos\theta)$ — as fórmulas de adição escritas em coordenadas.
- Mapa que gira com o celular. Quando você vira o corpo, o aplicativo de mapas soma o giro da bússola à direção que já estava na tela: soma de arcos.
- Valores exatos. Um rumo de $30^\circ$ seguido de uma curva de $45^\circ$ dá a direção $75^\circ$, e $\operatorname{sen} 75^\circ = \operatorname{sen}(30^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966$.
Teoria
Cosseno da soma
Sejam $P$, $Q$ e $R$ os pontos do ciclo associados aos números $a$, $a + b$ e $-b$, respectivamente. Em relação ao sistema $uOv$, as coordenadas desses pontos são
$$P(\cos a, \operatorname{sen} a) \qquad Q(\cos(a + b), \operatorname{sen}(a + b)) \qquad R(\cos b, -\operatorname{sen} b).$$TeoremaCosseno da soma
$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b$$Ver a demonstração
Os arcos $\overset{\frown}{AQ}$ e $\overset{\frown}{RP}$ têm a mesma medida ($a + b$); portanto as cordas $\overline{AQ}$ e $\overline{PR}$ são iguais. Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos da geometria analítica, com $A(1, 0)$:
$$d_{AQ}^2 = [\cos(a + b) - 1]^2 + [\operatorname{sen}(a + b) - 0]^2 = \cos^2(a + b) - 2\cos(a + b) + 1 + \operatorname{sen}^2(a + b) = 2 - 2\cos(a + b)$$$$d_{RP}^2 = [\cos a - \cos b]^2 + [\operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b]^2 = \cos^2 a - 2\cos a\cos b + \cos^2 b + \operatorname{sen}^2 a + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b + \operatorname{sen}^2 b$$$$= 2 - 2\cos a\cos b + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b.$$De $d_{AQ} = d_{RP}$ vem $2 - 2\cos(a + b) = 2 - 2\cos a\cos b + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$, que é a fórmula.
Cosseno da diferença
TeoremaCosseno da diferença
$$\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b$$Ver a demonstração
Usando a fórmula anterior e a paridade ($\cos(-b) = \cos b$, $\operatorname{sen}(-b) = -\operatorname{sen} b$):
$$\cos(a - b) = \cos[a + (-b)] = \cos a\cos(-b) - \operatorname{sen} a\operatorname{sen}(-b) = \cos a\cos b - \operatorname{sen} a(-\operatorname{sen} b).$$Seno da soma e da diferença
TeoremaSeno da soma e seno da diferença
$$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b + \operatorname{sen} b \cdot \cos a$$$$\operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b - \operatorname{sen} b \cdot \cos a$$Ver as demonstrações
Usamos os arcos complementares, $\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$:
$$\operatorname{sen}(a + b) = \cos\left[\frac{\pi}{2} - (a + b)\right] = \cos\left[\left(\frac{\pi}{2} - a\right) - b\right] = \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\cos b + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\operatorname{sen} b,$$isto é, $\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \cos a\operatorname{sen} b$. Para a diferença:
$$\operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen}[a + (-b)] = \operatorname{sen} a\cos(-b) + \operatorname{sen}(-b)\cos a = \operatorname{sen} a\cos b + (-\operatorname{sen} b)\cos a.$$Tangente da soma e da diferença
TeoremaTangente da soma e da diferença
$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \qquad \left(a, b, a + b \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$$$\operatorname{tg}(a - b) = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \qquad \left(a, b, a - b \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$Ver as demonstrações
Dividindo numerador e denominador por $\cos a\cos b$ (não nulo, pelas condições):
$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\frac{\operatorname{sen} a\cos b}{\cos a\cos b} + \frac{\operatorname{sen} b\cos a}{\cos a\cos b}}{\frac{\cos a\cos b}{\cos a\cos b} - \frac{\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b}{\cos a\cos b}} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}.$$Para a diferença, como a tangente é ímpar:
$$\operatorname{tg}(a - b) = \operatorname{tg}[a + (-b)] = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg}(-b)}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg}(-b)} = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}.$$Cotangente da soma e da diferença
TeoremaCotangente da soma e da diferença
$$\operatorname{cotg}(a + b) = \frac{\operatorname{cotg} a \cdot \operatorname{cotg} b - 1}{\operatorname{cotg} a + \operatorname{cotg} b} \qquad (a, b, a + b \ne k\pi)$$$$\operatorname{cotg}(a - b) = \frac{\operatorname{cotg} a \cdot \operatorname{cotg} b + 1}{\operatorname{cotg} b - \operatorname{cotg} a} \qquad (a, b, a - b \ne k\pi)$$Ver as demonstrações
Dividindo numerador e denominador por $\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$:
$$\operatorname{cotg}(a + b) = \frac{\frac{\cos a\cos b}{\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b} - 1}{\frac{\cos b}{\operatorname{sen} b} + \frac{\cos a}{\operatorname{sen} a}} = \frac{\operatorname{cotg} a\operatorname{cotg} b - 1}{\operatorname{cotg} a + \operatorname{cotg} b}.$$E, com $\operatorname{cotg}(-b) = -\operatorname{cotg} b$:
$$\operatorname{cotg}(a - b) = \frac{\operatorname{cotg} a(-\operatorname{cotg} b) - 1}{\operatorname{cotg} a + (-\operatorname{cotg} b)} = \frac{\operatorname{cotg} a\operatorname{cotg} b + 1}{\operatorname{cotg} b - \operatorname{cotg} a}.$$ExemploUm arco não notável com valor exato
$$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$$Compare com o exercício 126: lá obtivemos $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$. Os dois valores são iguais, pois $\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$.
Para memorizar
Os estudantes brasileiros inventaram frases para guardar as fórmulas de adição. Duas das mais conhecidas:
ResumoDuas frases
- “Minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá: seno $a$ cosseno $b$, seno $b$ cosseno $a$.”
- “Coça $a$, coça $b$, troca o sinal sem saber: seno $a$, seno $b$.”
Na diferença, troca-se o sinal do meio nas duas fórmulas.
Melhor que decorar é conferir com valores conhecidos. Com $a = 60^\circ$ e $b = 30^\circ$, a soma é $90^\circ$, cujo seno é $1$ e cujo cosseno é $0$:
$$\operatorname{sen} 90^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1, \qquad \cos 90^\circ = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2} = 0.$$Se a frase sair trocada, a conta não fecha.
Os exercícios desta seção são os de números 131 a 146 da lista do capítulo.