Euler's Eyes
2022-07-05
Triângulos
Introdução
No post anterior, definimos sobre polígonos e serviu para definição de quadriláteros e suas propriedades. Agora, vamos definir os triângulos, para isto, necessitamos do conceito de polígonos.
Triângulo é um polígono de três lados, em que usamos para os lados um segmentos de reta. Uma diagonal de um quadrilátero convexo o divide em dois triângulos.
- Vértices: pode ser definido como pontos de encontro entre os lados de um triângulo. Genericamente, os vértices são pontos de encontro entre lados de qualquer polígono.
Em particular um triângulo é formado por 3 vértices.
- Diagonal: é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de uma polígono plano e espacial qualquer.
Uma das propriedades importante dos triângulos é que possuem diagonais. Uma observação importante é que não existe triângulo que possua dois vértices não consecutivos. A diagonal de um quadrilátero, por exemplo, é um dos lados de um triângulo.
Tri Ângulo
Outra definição para triângulo é pela origem do nome:
- Tri é definido como 3 (três);
- Ângulo é a “abertura” entre duas segmentos de reta, ligadas por um vértice.
O primeiro Canon (lei de Deus) definido por Euclides é:
Canon α et (mais) β et (mais) γ aequalis (igual) 180°
Lei de deus α + β + γ = 180°
| Triângulo | Ângulos | Meia Volta |
|---|---|---|
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Classificação dos Triângulos
Em termos de curiosidade, vamos classificar os triângulos, mas não é necessário decorar, apenas saber que existem estas definições.
Classificação quanto aos lados
| Triângulo escaleno | Triângulos isósceles | Triângulo equilátero |
|---|---|---|
| possui todos os lados com medidas diferentes | possui dois lados com medidas iguais | possui todos os lados com medidas iguais |
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Classificação quanto aos ângulos
| Triângulo acutângulo | Triângulos obtusângulo | Triângulo retângulo |
|---|---|---|
| possui todos os ângulos internos menores que 90° | possui exatamente um ângulo interno maior que 90° | possui exatamente um ângulo interno igual a 90° |
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O último da tabela é chamado de triângulo retângulo, pois um dos ângulos é exatamente o ângulo dos vértices de um retângulo que é noventa graus (90°).
Área do Triângulo
Do post quadriláteros vimos que a área do retângulo é dada por:
$$\text{Área do retângulo} = \text{base} ~\times ~ \text{altura} = b~.~h$$Como dito antes, o triângulo pode ser obtido cortando um retângulo ao meio.
Ao usarmos essa ideia, a área do triângulo é dada por metade da área do retângulo:
$$\text{Área do triângulo} = \frac{\text{Área do retângulo} }{2}= \frac{\text{base} ~\times ~ \text{altura} }{2}$$
$$A_{\blacktriangle} = \frac{\text{base} ~\times ~ \text{altura} }{2} = \frac{b~.~h}{2}$$Agora o próximo passo é conhecermos as particularidades do triângulo retângulo, usando conceitos de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras e o Triângulo Retângulo
Na introdução deste livro, iniciamos os conceitos de lado do quadrado. O nosso radix quadratum, que equivale a área do quadrado do post anterior.
Da figura, notamos que temos área de quadrados, que na matemática atual é lado \(\times\) lado.
Exemplo 1:
$$\text{Area 1} = 3\times 3 = 9$$$$\text{Area 2} = 4\times 4 = 16$$
$$\text{Area 3} = 5\times 5 = 25$$
$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$
Exemplo 2:
$$\text{Area 1} = 6\times 6 = 36$$$$\text{Area 2} = 8\times 8 = 64$$
$$\text{Area 3} = 10\times 10 = 100$$
$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$
Ao generalizarmos o conceito, temos o Teorema de Pitágoras.
O quadrado (quadratum) de lado (latus) a mais (et) o quadrado (quadratum) de lado (latus) b
é igual (aequalis) ao quadrado (quadratum) de lado (latus) c.
Pitágoras
Portal da Catedral de Nossa Senhora de Chartres
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Aplicações do Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é tão importante que vemos nos manuscritos árabes e chineses confirme figura a seguir.
Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo pela derivação do nome, tem um dos ângulos reto, isto é, dois dados do triângulo são perpendiculares, como em dois dados de um quadrado. A seguir, conforme história apresentamos os nomes impostos a força pelos livros didáticos.
O que conhecemos como Catetos representam aquile que é perpendicular ⊥, já o que conhecemos como Hipotenusa é aquilo que está abaixo de
duas retas perpendiculares (esticado).
Triângulo Equilátero
O triângulo equilátero pode ser derivados das palavras equi (iguais) látero (lados) e pode ser obtido a partir de um triângulo retângulo. O triângulo retângulo é metade (½) de um triângulo equilátero.
Do triângulo retângulo notamos que a hipotenusa do exemplo a seguir tem distância a, um dos catetos tem distância h e o outro cateto a/2. Conforme figura a seguir:
Ao desdobrarmos o triângulo retângulo, obtemos o triângulo equilátero (3 lados iguais) a seguir.
Exemplo 1:
Com isso, obtemos:
$$h= \frac{a}{2}~.~\text{radix}~ 3$$
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Portanto:
radix quadratum 9 aequalis 3
$$\sqrt{9} = 3$$
Robert Recort
Robert Recort nos seus manuscritos nos mostra conceitos de multiplicação utilizados nos dias atuais.
Observamos nos manuscritos
$$21 \times 21 = 441$$$$32 \times 32 = 1024$$
Notamos que as multiplicações realizados são com valores de área do quadrado.
Este é uma introdução aos conceitos de geometria de Euclides, a seguir vamos ver geometria com sequências de números.