Na escola aprendemos a expandir $(1+x)^2=1+2x+x^2$ e $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$. Os coeficientes saem do triângulo aritmético, que Pascal estudou e que já era conhecido muito antes dele. Para expoentes inteiros positivos, a conta sempre termina.

No inverno de 1664–1665, ainda estudante, Newton fez uma pergunta que ninguém tinha feito com tanta ousadia: e se o expoente fosse $\frac12$? Ou $-1$? O que seria $(1+x)^{1/2}$, isto é, $\sqrt{1+x}$, escrito como soma de potências de $x$?

A regra dos coeficientes

Newton estava lendo a Aritmética dos infinitos de John Wallis, que calculava áreas interpolando tabelas de números. Seguindo a mesma ideia, ele percebeu que os coeficientes do binômio seguem um padrão que não depende de o expoente ser inteiro:

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots$$

Cada coeficiente sai do anterior multiplicando por $\dfrac{\alpha-k}{k+1}$. Se $\alpha$ é um inteiro positivo, em algum momento o fator $(\alpha-k)$ vale zero, e daí em diante todos os termos se anulam: é o binômio da escola. Se $\alpha$ não é inteiro positivo, nenhum fator se anula, e a soma continua para sempre.

A série funciona quando $|x|<1$. Fora disso, os termos crescem em vez de diminuir e a soma não chega a lugar nenhum.

Dois exemplos

Com $\alpha=-1$, os coeficientes são $1,-1,1,-1,\dots$ e obtemos uma série que já era conhecida, a progressão geométrica:

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$

Com $\alpha=\frac12$, aparece algo novo:

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$

Newton não tinha uma prova no sentido moderno. Ele conferiu: multiplicou a série por ela mesma e viu que os termos se cancelavam até sobrar só $1+x$. Faça o teste com os três primeiros termos:

$$\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\right)^2=1+x+\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}\right)+\cdots=1+x+0\cdot x^2+\cdots$$

O termo em $x^2$ desaparece, como devia. Os próximos também.

Calculando uma raiz com somas

Para calcular $\sqrt{1{,}21}$, usamos $x=0{,}21$:

$$1+0{,}105-0{,}0055125+0{,}0005788125=1{,}1000663125.$$

O valor exato é $1{,}1$. Com quatro termos o erro já está na quarta casa decimal, e o quinto termo, $-5x^4/128\approx-0{,}000076$, melhora ainda mais. Uma raiz quadrada, que exige um algoritmo especial, virou uma sequência de multiplicações e somas.

Por que isso importou

Até então, as séries infinitas eram curiosidades. Newton as transformou numa ferramenta: qualquer expressão com raízes ou frações podia ser trocada por uma soma de potências, e potências são fáceis de derivar e integrar. Foi assim que ele calculou áreas sob curvas que ninguém sabia medir, como veremos no post sobre áreas.

Newton só explicou o método publicamente em 1676, em duas cartas enviadas a Leibniz por meio de Henry Oldenburg, secretário da Royal Society. Hoje a mesma fórmula aparece como caso particular da série de Taylor.

Exercício: aproxime √1,04 com três termos

Com $x=0{,}04$: $1+0{,}02-\dfrac{0{,}0016}{8}=1+0{,}02-0{,}0002=1{,}0198$. O próximo termo, $x^3/16$, vale só $0{,}000004$; o valor verdadeiro é $1{,}019804\ldots$

Exercício: escreva os três primeiros termos de 1/√(1+x)

Aqui $\alpha=-\frac12$. Os coeficientes são $1$, $-\frac12$ e $\dfrac{(-\frac12)(-\frac32)}{2}=\frac38$. Logo $\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\approx1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3x^2}{8}$.

Fontes: manuscritos matemáticos no Newton Project · biografia no MacTutor.

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