Para saber como um planeta atrai um ponto, é preciso somar a atração de cada um dos seus pedaços. Cada pedaço puxa numa direção diferente, e somar forças é trabalhoso: são vetores, com três componentes cada. Os matemáticos do século XVIII descobriram um atalho, e Laplace fez dele uma ferramenta.

Somar números em vez de setas

Para uma massa $M$ concentrada num ponto, considere o número

$$V = \frac{M}{r},$$

em que $r$ é a distância até a massa (deixamos de lado a constante $G$). Esse número, que depois recebeu o nome de potencial, guarda toda a informação da força: as componentes da atração em cada direção são as derivadas de $V$ nessa direção. E a grande vantagem é que, para várias massas, os potenciais simplesmente se somam como números. Primeiro se soma o potencial de todos os pedaços do planeta; depois, com uma derivada, se obtém a força.

A equação

Laplace notou que, em qualquer ponto fora das massas, o potencial obedece a uma equação muito simples:

$$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0.$$

Hoje escrevemos $\nabla^2 V = 0$, e o símbolo $\nabla^2$ se chama laplaciano. Laplace publicou a equação em coordenadas esféricas em 1782, num trabalho sobre a forma dos planetas, e na forma cartesiana acima em 1787, estudando os anéis de Saturno.

Vale a pena conferir para uma única massa na origem. Com $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ e $V = \frac{1}{r}$:

$$\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{x}{r^3}, \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3x^2}{r^5}.$$

Somando as três direções:

$$\nabla^2 V = -\frac{3}{r^3} + \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3}{r^3} = 0.$$

Como a equação é linear, a soma de soluções é solução: o potencial de qualquer conjunto de massas a satisfaz fora delas. As funções que obedecem à equação de Laplace se chamam harmônicas.

O que a equação diz

Há uma leitura simples da equação. Divida o plano numa grade de pontos. Na versão discreta, $\nabla^2 V = 0$ diz que o valor em cada ponto é a média dos valores dos quatro vizinhos:

$$V_{i,j} = \frac{V_{i+1,j} + V_{i-1,j} + V_{i,j+1} + V_{i,j-1}}{4}.$$

Uma função harmônica não tem picos nem vales no interior: se um ponto fosse maior que todos os vizinhos, não poderia ser a média deles. Os máximos e mínimos ficam sempre na borda. Isso também sugere um jeito de resolver a equação: fixe os valores na borda, chute qualquer coisa no meio e substitua repetidamente cada ponto pela média dos vizinhos. A grade vai relaxando até a solução.

Na figura abaixo, a borda de cima de uma placa quadrada está a 100 graus e as outras três a 0. Cada clique faz várias rodadas de médias:

Uma equação para tudo

A mesma equação aparece muito longe da gravitação. A temperatura de uma placa em equilíbrio, o potencial elétrico no vácuo, o escoamento de um fluido sem redemoinhos e a forma de uma membrana esticada obedecem a $\nabla^2 V = 0$. O laplaciano também aparece nas equações do calor, das ondas e de Schrödinger, e em processamento de imagens, onde serve para detectar bordas.

Dentro das massas a equação muda. Em 1813 Siméon-Denis Poisson, aluno de Laplace, mostrou que ali vale

$$\nabla^2 V = -4\pi G\rho,$$

em que $\rho$ é a densidade (com a convenção de sinal do potencial que usamos acima). É a equação de Poisson.

Exercício: quais são harmônicas?

Verifique quais das funções do plano satisfazem $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0$: (a) $x^2 - y^2$; (b) $xy$; (c) $x^2 + y^2$.

(a) $2 + (-2) = 0$: é harmônica. (b) As duas segundas derivadas são zero: é harmônica. (c) $2 + 2 = 4 \neq 0$: não é. As duas primeiras são as partes real e imaginária de $(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$. Não é coincidência: as partes real e imaginária de qualquer função complexa derivável são harmônicas.

Exercício: o centro da placa

Na figura acima, a borda de cima está a 100 e as outras a 0. Por que a temperatura no centro converge para exatamente 25?

Considere quatro problemas: em cada um, um lado diferente está a 100 e os outros três a 0. Girando a placa, os quatro são iguais, e por isso dão o mesmo valor no centro. Somando as quatro soluções, obtemos (pela linearidade) a solução com os quatro lados a 100, que é a constante 100. Então o valor no centro em cada problema é $\frac{100}{4} = 25$.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, “Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes”, Mémoires de l’Académie royale des sciences (1782, publicado em 1785) · Pierre-Simon Laplace, “Mémoire sur la théorie de l’anneau de Saturne”, Mémoires de l’Académie royale des sciences (1787, publicado em 1789) · Siméon-Denis Poisson, “Remarques sur une équation qui se présente dans la théorie des attractions des sphéroïdes”, Nouveau Bulletin de la Société philomatique 3 (1813) · Oliver D. Kellogg, Foundations of Potential Theory (1929).

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