Euler's Eyes
2026-10-11
O princípio de Fermat: a luz escolhe o caminho mais rápido
Um salva-vidas está na areia e vê alguém se afogando no mar, mais adiante e para o lado. Qual caminho ele deve seguir? A linha reta é o caminho mais curto, mas não o mais rápido: ele corre na areia muito mais depressa do que nada na água. Vale a pena correr um pouco mais pela areia, para nadar menos.
Fermat percebeu que a luz faz exatamente essa escolha.
A reflexão: o menor caminho
A ideia mais antiga é a do espelho. No século I, Heron de Alexandria já tinha notado que a luz, ao refletir, segue o caminho mais curto entre dois pontos passando pelo espelho.
Vamos verificar com uma derivada. Uma fonte de luz $S$ está a altura $a$ acima do espelho, e o olho $T$ a altura $b$. A distância horizontal entre eles é $\ell$. A luz bate no espelho num ponto $M$, a uma distância $x$ do pé de $S$.
O comprimento do caminho $S\to M\to T$ é
$$P(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}.$$No mínimo, a derivada se anula:
$$P'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}=0.$$Cada fração é o seno de um ângulo: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ é o seno do ângulo de incidência $\hat i$, medido a partir da reta perpendicular ao espelho, e $\dfrac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}$ é o seno do ângulo de reflexão $\hat r$. Logo
$$\sin\hat i=\sin\hat r\qquad\Longrightarrow\qquad\hat i=\hat r.$$É a lei da reflexão: o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
A refração: o menor tempo
Na reflexão, a luz fica no mesmo meio, e o menor caminho é também o mais rápido. Mas quando a luz passa do ar para a água, ela muda de direção. O caminho torto é mais comprido que a reta. Por que a luz faria isso?
Em 1662, Fermat propôs a resposta: a luz não segue o caminho mais curto, e sim o mais rápido. Se ela anda mais devagar na água, vale a pena percorrer mais distância no ar, como o salva-vidas na areia.
Seja $v_1$ a velocidade da luz no primeiro meio e $v_2$ no segundo. Com as mesmas distâncias de antes, agora com o ponto $T$ abaixo da superfície, o tempo total é
$$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}{v_2}.$$Derivando e igualando a zero:
$$\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\ell-x}{v_2\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}.$$Reconhecendo os senos dos ângulos com a perpendicular:
$$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\qquad\text{ou}\qquad\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}.$$Essa é a lei de Snell, a lei da refração que se estuda no ensino médio. Se a luz é mais lenta no segundo meio ($v_2 O princípio de Fermat foi a primeira vez que alguém explicou um fenômeno físico dizendo que a natureza otimiza alguma coisa. A ideia fez enorme sucesso. No século XVIII, Maupertuis, Euler e Lagrange criaram o princípio da mínima ação, que vale para a mecânica inteira. Hoje, princípios assim estão no coração da física moderna, da relatividade à mecânica quântica. Uma correção técnica: em algumas situações, como certos espelhos curvos, a luz segue um caminho de tempo máximo ou de tempo “parado”, e não mínimo. Por isso a física de hoje diz que o tempo de percurso é estacionário: a derivada se anula, como no método de máximos e mínimos do próprio Fermat. Não. Com $v_1=v_2$, temos $\sin\theta_1=\sin\theta_2$, então $\theta_1=\theta_2$: o raio segue em linha reta. $\sin\theta_2=\sin\theta_1\cdot\dfrac{v_2}{v_1}=0{,}5\cdot\dfrac34=0{,}375$, e $\theta_2\approx22°$. O raio se aproxima da perpendicular. Fontes: biografia de Fermat, MacTutor. Todos os tópicos de Fermat · ← Fermat e Pascal: a divisão justa de um jogo interrompido · Descida infinita: uma solução menor leva à contradição →Um princípio que foi longe
Exercício: se as velocidades nos dois meios forem iguais, o raio muda de direção?
Exercício: a luz vai do ar para a água, onde é 4/3 vezes mais lenta. Se θ₁ = 30°, quanto vale sen θ₂?