O objeto e as suas representações: o caso das frações

O número cinco pode ser escrito $5$, $\text{V}$, “cinco”, five, $101$ em base dois ou com cinco risquinhos num caderno. As escritas mudam; o número é o mesmo. Até aqui, nada de surpreendente.

A surpresa vem quando se pergunta: e onde está o número cinco, afinal? Não está no papel, porque o papel só tem as escritas. Não está numa coleção de cinco maçãs, porque as maçãs têm cor, peso e cheiro, e o número não tem nada disso. Ninguém nunca viu, nem vai ver, o número cinco “em pessoa”. Só vemos as suas representações.

O psicólogo e filósofo francês Raymond Duval, que estudou por décadas como se aprende matemática, deu nome a esse problema:

Os objetos matemáticos não são acessíveis pela percepção, como os objetos do mundo físico. Só temos acesso a eles por meio de representações. E, no entanto, não se pode confundir o objeto com nenhuma das suas representações.

— Raymond Duval, sobre o “paradoxo cognitivo” da matemática (2006, paráfrase)

Em biologia, quem duvida de uma foto de um sapo pode ir ao brejo ver o sapo. Em matemática, não há brejo. Por isso aprender matemática é, em grande parte, aprender a reconhecer o mesmo objeto em representações diferentes, e a não confundir nenhuma delas com ele.

Uma fração, muitas leituras

Olhe para $\frac12$. O que você vê? Um traço com dois algarismos? Uma divisão? Uma barra de chocolate partida ao meio? Um ponto entre $0$ e $1$ na reta?

Todas essas leituras estão certas, e todas se referem ao mesmo número. Mas cada uma acende uma parte diferente dele. A leitura como parte de um todo exige saber qual é o todo: metade de uma barra pequena e metade de uma barra grande são a mesma fração e quantidades diferentes de chocolate.

Quem conta e quem dá nome

Os próprios nomes das partes de uma fração guardam uma lição de semiótica. Denominador vem do latim denominare, “dar nome”: o número de baixo diz que tipo de parte é aquela, se são metades, terços ou quartos. Numerador vem de numerare, “contar”: o número de cima diz quantas dessas partes há. Em $\frac34$, o $4$ dá o nome (quartos) e o $3$ conta (três deles). É exatamente como falamos: “três quartos”.

A barra que separa os dois também tem história. Os matemáticos indianos escreviam um número em cima do outro, sem traço nenhum. Os árabes do norte da África acrescentaram o traço horizontal por volta do século XII, e foi com eles que Leonardo de Pisa o aprendeu. No Liber abbaci, de 1202, ele deu a definição que os antigos textos deste site gostavam de citar:

Quando acima de um número qualquer aparecer uma barra, e acima dela for escrito outro número qualquer, o número de cima está para o de baixo; o de baixo se chama denominador e o de cima, numerador.

— Leonardo de Pisa, Liber abbaci (1202), tradução livre

Repare em “o número de cima está para o de baixo”: para Fibonacci, a fração já era uma razão, uma relação entre dois números, e não só um pedaço de pizza. A barra inclinada, $3/4$, veio muito depois. Ela aparece num jornal do México em 1784 e foi defendida em 1845 pelo inglês Augustus De Morgan por um motivo prático: numa linha de texto impresso, a barra horizontal obrigava o tipógrafo a montar três linhas de tipos, e a inclinada cabia numa só. Ganhou-se espaço e perdeu-se um pouco de clareza, como veremos no texto sobre a gramática das fórmulas.

O mesmo número, quatro escritas

Cada escrita é melhor para uma coisa. A fração $\frac24$ é a certa quando a pizza veio cortada em quatro. O decimal $0{,}5$ é o certo para a calculadora e para comparar com $0{,}48$. A porcentagem é a certa para comparar com outras porcentagens, como os juros de um banco. Escolher a representação já é parte da resolução: o problema “o que é maior, $\frac38$ ou $0{,}4$?” fica fácil quando as duas quantidades estão na mesma escrita.

Os egípcios e as frações de numerador um

Há mais de 3.500 anos, o escriba egípcio Ahmes copiou num papiro, hoje chamado papiro de Rhind, uma tabela que intriga os historiadores até hoje. Os egípcios escreviam quase todas as frações como somas de frações diferentes com numerador $1$. Para eles, $\frac25$ não era uma escrita aceitável; o certo era

Parece um jeito complicado de escrever uma coisa simples. Mas experimente dividir $2$ pães entre $5$ pessoas. Com a escrita egípcia, a receita está pronta: corte $\frac13$ de pão para cada pessoa (isso gasta $\frac53$ de pão), e o $\frac13$ que sobra você corta em cinco pedaços de $\frac1{15}$. Todo mundo recebe um pedaço grande e um pedacinho, e ninguém fica com uma fatia “torta”. A representação egípcia era ótima para repartir, e péssima para multiplicar. A nossa é o contrário.

A pergunta que separa

Diante de qualquer representação, vale a pergunta: o que pertence ao objeto e o que pertence só à escrita? O traço de um triângulo desenhado tem espessura; o triângulo da geometria, não. A fração $\frac24$ tem um $4$ embaixo; o número que ela representa não é “quatro de nada”. A pizza tem sabor; o meio, não. Quem confunde o objeto com a sua representação acaba achando que $\frac24$ é maior que $\frac12$ “porque tem números maiores”, um erro muito comum entre crianças, e um erro inteiramente semiótico.

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