Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral.

— John Nash, The Bargaining Problem (1950)

Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

O problema

Duas pessoas, 1 e 2, podem fechar um acordo. Cada acordo possível dá a cada uma um ganho, medido como utilidade: $u_1$ e $u_2$. Se não houver acordo, cada uma fica com o que já tinha, o ponto de desacordo $(d_1,d_2)$. Um acordo só interessa se der a cada um pelo menos o que ele teria sem acordo.

As quatro exigências

Nash pediu que a solução tivesse quatro propriedades:

  1. Eficiência. Não deve existir outro acordo melhor para os dois ao mesmo tempo.
  2. Simetria. Se a situação for simétrica, com as mesmas possibilidades e o mesmo desacordo para os dois, os dois ganham igual.
  3. Invariância. A solução não muda se a utilidade de uma pessoa for medida em outra escala, como se troca graus Celsius por Fahrenheit.
  4. Independência das alternativas irrelevantes. Se a solução de um problema continua possível num problema menor, ela continua sendo a solução. Retirar opções que ninguém escolheria não muda o acordo.

O teorema de Nash diz que existe uma única regra com as quatro propriedades: escolher o acordo que torna máximo o produto dos ganhos sobre o desacordo,

$$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2).}$$

Dividir 10 reais

Duas pessoas vão dividir 10 reais. Se não houver acordo, ninguém leva nada: $d=(0,0)$. Suponha, por simplicidade, que a utilidade seja o próprio dinheiro. Se a pessoa 1 recebe $x$, a pessoa 2 recebe $10-x$, e o produto é

$$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$

O máximo é em $x=5$: cada um leva 5 reais. Sem surpresa, num caso simétrico.

Quem tem uma boa alternativa leva mais

Agora suponha que a pessoa 1 tenha uma alternativa: sem acordo, ela consegue 4 reais em outro lugar, e a pessoa 2 continua sem nada. O desacordo é $(4,0)$. Os ganhos sobre o desacordo são $x-4$ e $10-x$, e o produto é

$$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$
O produto dos ganhos sobre o desacordo, (x − 4)(10 − x). Ele vale zero quando x = 4, porque a pessoa 1 não ganha nada com o acordo, e quando x = 10, porque a pessoa 2 não ganha nada. O máximo, 9, fica em x = 7.
O produto dos ganhos sobre o desacordo, (x − 4)(10 − x). Ele vale zero quando x = 4, porque a pessoa 1 não ganha nada com o acordo, e quando x = 10, porque a pessoa 2 não ganha nada. O máximo, 9, fica em x = 7.Ilustração de Euler’s Eyes

O máximo é em $x=7$: a divisão é 7 para a pessoa 1 e 3 para a pessoa 2. Cada um ganha 3 reais a mais do que teria sem acordo. A solução de Nash divide igualmente o excedente, o valor que o acordo cria além do que cada um já tinha garantido. Por isso quem tem uma boa alternativa leva mais: ela não é dada de presente, é o ponto de partida da negociação.

Uma conta com utilidades diferentes

O dinheiro nem sempre vale o mesmo para os dois. Suponha que, para a pessoa 2, que é mais pobre, a utilidade de $y$ reais seja $\sqrt y$: os primeiros reais valem muito, os seguintes valem cada vez menos. Com desacordo $(0,0)$, maximizamos $x\sqrt{10-x}$. Derivando,

$$\sqrt{10-x}-\frac{x}{2\sqrt{10-x}}=0\quad\Longrightarrow\quad2(10-x)=x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{20}3\approx6{,}67.$$

A pessoa 1 leva 6,67 reais e a pessoa 2, 3,33. Quem tem mais pressa de qualquer acordo, porque cada real lhe faz mais falta, acaba ficando com menos. A matemática de Nash não diz se isso é justo: diz o que resulta das quatro exigências.

Exercício: com total de 12 e desacordo (2, 0), qual é a divisão de Nash, com utilidade igual ao dinheiro?

Maximizamos $(x-2)(12-x)=-x^2+14x-24=25-(x-7)^2$. O máximo é em $x=7$: a divisão é (7, 5). O excedente é $12-2=10$, e cada um ganha 5 sobre o desacordo.

Exercício: mostre que, com utilidades iguais ao dinheiro, total T e desacordo (d₁, d₂), a pessoa 1 recebe d₁ + (T − d₁ − d₂)/2.

O produto é $(x-d_1)(T-x-d_2)$. É uma parábola em $x$ com raízes em $x=d_1$ e $x=T-d_2$, e o máximo fica no meio delas: $x=\frac{d_1+T-d_2}2=d_1+\frac{T-d_1-d_2}2$. Cada um recebe o seu desacordo mais metade do excedente $T-d_1-d_2$.

Fontes: John F. Nash, “The bargaining problem”, Econometrica 18 (1950) · Ken Binmore, Game Theory: A Very Short Introduction (Oxford, 2007) · Nobel de Economia de 1994, Fundação Nobel.

Todos os tópicos de John Nash · ← Estratégias mistas: o pênalti e o par ou ímpar · Amassar sem esticar: o teorema da imersão →

Créditos das imagens.