Os logaritmos transformam multiplicações em somas: para multiplicar dois números, soma-se os seus logaritmos e volta-se. A transformada de Laplace faz algo parecido com as equações diferenciais: troca derivadas por multiplicações. Resolve-se uma equação de álgebra e depois se volta.

A origem

Laplace chegou a essa ideia pela probabilidade. Na Teoria analítica das probabilidades, de 1812, ele organizou os seus cálculos com funções geradoras: em vez de trabalhar com uma sequência de probabilidades, trabalhava com uma única função que guardava todas elas. A versão contínua dessa ideia é uma integral que Euler já tinha usado antes, mas que Laplace explorou sistematicamente:

$$F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$$

Cada função $f(t)$ vira uma nova função $F(s)$, a sua transformada de Laplace, que escrevemos $\mathcal{L}\{f\}$.

Alguns exemplos

Para a constante $f(t) = 1$:

$$\mathcal{L}\{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \quad (s > 0).$$

Para a exponencial $f(t) = e^{at}$, as exponenciais se juntam:

$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a} \quad (s > a).$$

Derivadas viram multiplicações

A propriedade que torna a transformada útil vem de uma integração por partes:

$$\mathcal{L}\{f'\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f'(t)\,dt = \Big[e^{-st}f(t)\Big]_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = sF(s) - f(0).$$

Derivar $f$ corresponde a multiplicar $F$ por $s$ (e descontar o valor inicial). Uma equação diferencial vira uma equação de álgebra, e o valor inicial já entra na conta.

Um circuito

Num circuito com um resistor e um capacitor ligado a uma bateria, a tensão $y(t)$ no capacitor obedece, em unidades convenientes, a

$$y' + y = 1, \qquad y(0) = 0.$$

Aplicando a transformada aos dois lados: $sY - 0 + Y = \frac{1}{s}$, ou seja,

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}.$$

Agora basta reconhecer as transformadas da tabela: $\frac{1}{s}$ vem de $1$ e $\frac{1}{s+1}$ vem de $e^{-t}$. Logo

$$y(t) = 1 - e^{-t}.$$

O capacitor carrega e se aproxima da tensão da bateria, como se observa no laboratório.

A volta pela engenharia

Por muito tempo a transformada ficou esquecida como um truque de probabilidade. No fim do século XIX o engenheiro inglês Oliver Heaviside inventou um “cálculo operacional” para circuitos elétricos, em que tratava a derivada como um número que se pode multiplicar e dividir. Os resultados estavam certos, mas os matemáticos não entendiam por quê. Na década de 1910 Thomas Bromwich e outros mostraram que o método de Heaviside era, no fundo, a transformada de Laplace, e nos anos 1930 Gustav Doetsch a pôs em bases rigorosas. Desde então ela está em todos os cursos de engenharia, em controle, sinais e circuitos.

Exercício: a transformada de t

Calcule $\mathcal{L}\{t\}$.

Integrando por partes, com $u = t$ e $dv = e^{-st}dt$:

$$\int_0^{\infty} t\,e^{-st}\,dt = \left[-\frac{t\,e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} + \frac{1}{s}\int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = 0 + \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^2}.$$

Também se pode usar a regra da derivada: $t$ tem derivada 1 e vale 0 em $t = 0$, então $s\,\mathcal{L}\{t\} = \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$.

Exercício: crescimento exponencial

Resolva $y' = 3y$ com $y(0) = 2$ usando a transformada.

Transformando: $sY - 2 = 3Y$, então $Y = \frac{2}{s-3}$. Pela tabela, $\frac{1}{s-3}$ vem de $e^{3t}$, e portanto $y(t) = 2e^{3t}$.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, Théorie analytique des probabilités (1812), livro I · Michael A. B. Deakin, “The Development of the Laplace Transform, 1737–1937”, Archive for History of Exact Sciences 25 (1981) e 26 (1982) · Gustav Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation (1937) · Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude (1988).

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