Exercícios do capítulo 13 — Semelhança de triângulos e potência de ponto

Os triângulos $ABC$ e $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ da figura são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1º para o 2º é $\dfrac{3}{2}$, determine: a) $a$, $b$ e $c$; b) a razão entre os seus perímetros.

Os triângulos $ABC$ e $PQR$ são semelhantes. Determine $x$ e $y$.

Se o $\triangle KLM$ é semelhante ao $\triangle FGH$, determine $x$.

Os três lados de um triângulo $ABC$ medem 8 cm, 18 cm e 16 cm. Determine os lados de um triângulo $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ semelhante a $ABC$, sabendo que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é igual a 3.

Se $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{BC}$, determine $x$ nos casos (em b, $x = AD$):

De um $\triangle ABC$ sabemos que $AB = 20$ m, $BC = 30$ m e $AC = 25$ m. Se $D$ está em $\overline{AB}$, $E$ em $\overline{AC}$, $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{BC}$ e $DE = 18$ m, determine $x = DB$ e $y = EC$.

Mostre que, se a razão de semelhança entre dois triângulos é $k$, então a razão entre seus perímetros também é $k$.

Dois triângulos $ABC$ e $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ são semelhantes. Sabendo que o lado $\overline{AB}$ mede 20 cm e que o seu homólogo $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ mede 40 cm, determine o perímetro do triângulo $ABC$, sabendo que o perímetro do triângulo $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ é 200 cm.

O perímetro de um triângulo é 60 m e um dos lados tem 25 m. Qual o perímetro do triângulo semelhante cujo lado homólogo ao lado dado mede 15 m?

Os lados de um triângulo medem 8,4 cm, 15,6 cm e 18 cm. Esse triângulo é semelhante a um triângulo cujo perímetro mede 35 cm. Calcule o maior lado do segundo triângulo.

Num triângulo $ABC$, os lados medem $AB = 4$ cm, $BC = 5$ cm e $AC = 6$ cm. Calcule os lados de um triângulo semelhante a $ABC$ cujo perímetro mede 20 cm.

Um triângulo cujos lados medem 12 m, 18 m e 20 m é semelhante a outro cujo perímetro mede 30 m. Calcule a medida do menor dos lados do triângulo menor.

Na figura, $AB = 2 \cdot BC$ e $BE = 14$. Calcule $CD$, sabendo que $\overline{BE} \parallel \overline{CD}$.

As bases de um trapézio medem 12 m e 18 m e os lados oblíquos às bases medem 5 m e 7 m. Determine os lados do menor triângulo que obtemos ao prolongar os lados oblíquos às bases.

Se ângulos com “marcas iguais” são congruentes, determine as incógnitas nos casos:

Se $\alpha = \beta$, determine $x$ e $y$ nos casos:

Determine $x$ e $y$ nos casos:

Sendo $r$ e $s$ retas paralelas, determine $x$ nos casos:

Se $\overline{AB} \parallel \overline{ED}$, $DE = 4$ cm, $CD = 2$ cm e $BC = 6$ cm, calcule a medida de $\overline{AB}$.

Na figura, $\overline{AB}$ é paralelo a $\overline{DE}$. a) Prove que os triângulos $ABC$ e $EDC$ são semelhantes. b) Sendo $AB = 5$, $AC = 6$, $BC = 7$ e $DE = 10$, calcule $CD$.

Na figura abaixo, determine o valor de $x$.

Calcule o valor de $x$, sabendo que a figura abaixo é um paralelogramo.

Na figura, $AB = 8$ cm, $BC = 3$ cm e $AE = 5$ cm. Calcule $x = DE$, sabendo que $A\hat{C}E \equiv A\hat{D}B$.

Nas figuras, determine $x$.

Dada a figura, determine o valor de $x$.

Na figura, consideremos os quadrados de lados $a$ e $b$ ($a > b$). Calcule o valor de $x$.

Na figura, consideremos os quadrados de lados $x$, 6 e 9. Determine o perímetro do quadrado de lado $x$.

Determine a medida do lado do quadrado da figura abaixo.

Prolongando-se os lados oblíquos às bases de um trapézio, obtemos um ponto $E$ e os triângulos $ECD$ e $EAB$. Determine a relação entre as alturas dos dois triângulos, relativas aos lados que são bases do trapézio, sendo 12 cm e 4 cm as medidas das bases do trapézio.

As bases de um trapézio $ABCD$ medem 50 cm e 30 cm, e a altura, 10 cm. Prolongando-se os lados não paralelos, eles se interceptam num ponto $E$. Determine a altura $\overline{EF}$ do triângulo $ABE$ e a altura $\overline{EG}$ do triângulo $CDE$.

Num triângulo isósceles de 20 cm de altura e $\dfrac{50}{3}$ cm de base está inscrito um retângulo de 8 cm de altura com base na base do triângulo. Calcule a medida da base do retângulo.

Determine $x$ e $y$.

Na figura, temos $AB = 8$, $BC = 15$, $AC = 17$ e $EC = 4$. Determine $x = DE$ e $y = CD$.

Na figura, o quadrado $DEFG$ está inscrito no triângulo $ABC$. Sendo $BD = 8$ cm e $CE = 2$ cm, calcule o perímetro do quadrado.

Num retângulo $ABCD$, os lados $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ medem 20 cm e 12 cm. Sendo $M$ o ponto médio do lado $\overline{AB}$, calcule $EF$, a distância do ponto $E$ ao lado $\overline{AB}$, sendo $E$ a interseção da diagonal $\overline{BD}$ com o segmento $\overline{CM}$.

Na figura, determine $x$.

Consideremos um triângulo $ABC$ de lado $BC = 10$ cm. Seja $\overline{CD}$ um segmento interno ao triângulo, com $D$ no lado $\overline{AB}$. Sabendo que $BD = 4$ cm e que os ângulos $B\hat{A}C$ e $B\hat{C}D$ são congruentes, determine a medida de $\overline{AD}$.

Pelos pontos $A$ e $B$ de uma reta traçam-se perpendiculares à reta. Sobre elas tomam-se os segmentos $AC = 13$ cm e $BD = 7$ cm. No segmento $AB = 25$ cm toma-se um ponto $P$ tal que os ângulos $A\hat{P}C$ e $B\hat{P}D$ sejam congruentes. Calcule a medida de $\overline{AP}$.

Considere a circunferência circunscrita a um triângulo $ABC$. Seja $\overline{AE}$ um diâmetro dessa circunferência e $\overline{AD}$ a altura do triângulo. Sendo $AB = 6$ cm, $AC = 10$ cm e $AE = 30$ cm, calcule a altura $\overline{AD}$.

Calcule $R$, raio da circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$ da figura, sendo $AB = 4$, $AC = 6$ e $AH = 3$.

Dois círculos de raios $R$ e $r$ são tangentes exteriormente no ponto $A$. Sendo $C$ e $D$ os pontos de tangência de uma reta $t$ externa com os dois círculos, determine a altura do triângulo $ACD$ relativa ao lado $\overline{CD}$.

O ponto $O$ é a interseção das diagonais $\overline{AC}$ e $\overline{BD}$ de um losango $ABCD$. Prolonga-se o lado $\overline{AD}$ até um ponto $F$ de modo que $DF = 4$ m. Se $\overline{OF}$ encontra $\overline{CD}$ em $E$ e $ED = 2$ m, determine o lado do losango.

De um triângulo $ABC$ sabemos que o ângulo $\hat{A}$ é o dobro do ângulo $\hat{C}$, $AB = 6$ m e $AC = 10$ m. Determine $BC$.

Na figura, as semirretas $\overrightarrow{PA}$ e $\overrightarrow{PB}$ são tangentes à circunferência. Se as distâncias de $Q$ às tangentes são 4 e 9, ache a distância de $Q$ à corda $\overline{AB}$.

As retas $t$ e $f$ são tangentes às circunferências em $A$. Determine $AB$ em função de $a = BC$ e $b = BD$.

Na figura, $\overline{RQ}$ é perpendicular a $\overline{PQ}$, $\overline{PQ}$ é perpendicular a $\overline{PT}$ e $\overline{TS}$ é perpendicular a $\overline{PR}$. Prove que $TS \cdot RQ = PS \cdot PQ$.

Em cada caso, determine a incógnita.

Determine o valor de $x$ nas figuras abaixo.

Determine $x$ nos casos:

Na figura, calcule as medidas das cordas $\overline{BD}$ e $\overline{CE}$, sendo $AB = 3x$, $AC = 4x - 1$, $AD = x + 1$ e $AE = x$.

Determine o valor de $x$ nas figuras abaixo.

Determine o raio do círculo nos casos:

Na figura, sendo $ED : EC = 2 : 3$, $AE = 6$ e $EB = 16$, calcule o comprimento de $\overline{CD}$.

Determine a medida do segmento $\overline{DE}$, sabendo que $\overline{AB}$ é diâmetro da circunferência, $B$ é o ponto de tangência do segmento $\overline{BC}$ à circunferência e $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{BC}$.

Calcule a potência de um ponto $P$ em relação a uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, em função da distância $d$ entre $O$ e $P$ e do raio $r$.

Na figura do livro, calcule $\text{pot}\,A + \text{pot}\,B + \text{pot}\,C$ (potências em relação à circunferência $\lambda$).

Por um ponto $P$ distante 18 cm de uma circunferência, traça-se uma secante que determina na circunferência uma corda $\overline{AB}$ de medida 10 cm. Calcule o comprimento da tangente a essa circunferência traçada do ponto $P$, sabendo que $\overline{AB}$ passa pelo centro da circunferência.

Determine o raio do círculo menor inscrito num quadrante do círculo maior da figura, sendo $2R$ o diâmetro do círculo maior.

Duas cordas $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ interceptam-se num ponto $P$ interno a uma circunferência. Determine a medida do segmento $\overline{BP}$, sabendo que os segmentos $\overline{CP}$, $\overline{DP}$ e a corda $\overline{AB}$ medem, respectivamente, 1 cm, 6 cm e 5 cm.

Num círculo, duas cordas se cortam. O produto dos dois segmentos da primeira corda é $25\ \text{cm}^2$. Sabe-se que, na segunda corda, o menor segmento vale $\dfrac{1}{4}$ do maior. Determine a medida do maior segmento dessa segunda corda.

$\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ são duas cordas de medidas iguais, pertencentes a um círculo. Uma corda $\overline{AD}$ intercepta a corda $\overline{BC}$ num ponto $P$. Prove que os triângulos $ABD$ e $APB$ são semelhantes.