Divisão

Repartir sem perder ninguém

Neste post, vamos falar da Divisão, embora este conceito seria mais bem definido quando entrarmos em números racionais. A divisão amplia o potencial do conceito de subtração e, sem perda de generalidade, é inversa da multiplicação. Hoje muitos professores têm dificuldade em ensinar a divisão, pois a divisão é muito mais complexa que a subtração e considerada de difícil uso no século XV.

Nos posts anteriores falamos de Lucas Pacioli e ele disse o seguinte para divisão:

“Se uma pessoa sabe dividir, tudo o mais é fácil.”

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O Conceito

O conceito de divisão é baseado em dois conceitos:

• repartir
• comparar.

A divisão vista como repartir ocorre quando desejamos particionar (repartir) um conjunto de objetos (ou o que for repartir) em grupos. Por exemplo, temos 20 balas para repatirmos para 5 crianças. Como podemos repartir?

$$20\div 5$$	Tabuada

Neste caso, vamos repartir (dividir) as balas em porções iguais para cada criança. Neste exemplo não sobrou nenhuma bala, isto é, restou zero balas. Exemplos como estes são ensinada nos primeiros anos do ensino fundamental.

Agora, podemos repartir objetos e ainda sobrar objetos. Por exemplo, temos 21 livros para repartir para 5 crianças.

Para este exemplo, sobrou 1 livro, que é um conceito usado para final do ensino fundamental 1. No fundamental 2, os alunos podem usar conceitos de euqação para entender a divisão com resto, como definido a seguir.

Dado um número natural a, suponhamos que a foi dividido em q grupos com b elementos cada um, e que restaram r elementos. Esse fato é representado pela equação fundamental da divisão:

Nos problemas sem o resto podemos ter como definição:

pois o resto é zero.

Algoritmos para divisão

Aqui vamos estudar a gênese do algoritmo da divisão, aquele ensinado no ensino fundamental 1. Desta forma, podemos entender o algoritmo de divisão e a causa de dificuldade entre as crianças.

Divisões sucessivas

Para o algoritmos de divisões sucessiva, vamos utilizar a técnica da subtração sucessiva.

Exemplo 1: Suponhamos 30 cartas pokémon para repartirmos para 7 crianças. Utilize o algoritmo das subtrações sucessivas.

• 30 - 7 = 23
• 23 - 7 = 16
• 16 - 7 = 9
• 9 - 7 = 2

O método livresco utiliza o algoritmo das subtraçoes sucessivas como montado a seguir:

De forma reduzida, a construção é feita da seguinte forma:

Disto, vamos propor de formar genérica:

Equação	Montagem Escolar
$$a = bq + r$$

Definimos como:

• \(a\) : dividendo

• \(b\) : divior

• \(q\) : quociente

• \(r\) : resto

Exemplo 2: Suponhamos 123 ingressos de cinema para repartirmos para 7 crianças. Utilize o algoritmo das subtrações sucessivas.

Ticket	Crianças

A seguir vamos apresentar 2 métodos para a divisão:

Método 1	Método 2

O primeiro não é utilizado nas escolas de ensino fundamental, pois a criança pode ficar confusa, porém evita o desce o número 3. Além disso, necessita de operações de subtração na esquerda e soma na direita. Já o segundo método necessita descer o 3 e evita a soma de 10 + 7 = 17.

Este último é o método direto, em que calculamos a subtração de cabeça. Porém, a criança tem que estar treinada a fazer a conta de cabeça.

Método Egípcio

Para ilustrarmos o método egípcio, vamos calcular 250 dividido por 7.

Algoritmo egípcio:

• Montamos duas colunas, um iniciado em 1 e outro em 7
• Duplicamos as duas colunas até chegarmos a número próximo ao resultado. Por exemplo,
  • 1 x 2 = 2, 2 x 2 = 4 , …, 16 x 2 = 32.
  • 7 x 2 = 14, 14 x 2 = 28, …, 112 x 2 = 224.
• Procuramos na segunda coluna os números cuja soma seja menor ou igual a 250.
  • Neste caso 7 + 14 + 224 = 245.
• O quociente é o resultado da soma da primeira coluna:
  • Neste caso 1 + 2 + 32 = 35.
• O resto é dado pelo resultado de 250 - 245 = 5.

Até aqui podemos para o assunto divisão de números naturais.

Treino

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