Uma tábua de logaritmos ainda exige procurar números, somar e procurar de novo. Poucos anos depois de Napier, os ingleses perceberam que era possível pôr os logaritmos numa régua e fazer a soma com as mãos.

A escala de Gunter

Em 1620, o astrônomo Edmund Gunter, colega de Briggs no Gresham College, desenhou uma régua em que cada número $x$ ficava a uma distância proporcional a $\log x$ da marca do 1:

$$\text{posição de }x=L\cdot\log x.$$

O 1 fica no começo, o 10 no fim, e o 2 a $0{,}301$ do comprimento; o 3, a $0{,}477$; o 5, a $0{,}699$. Os números se apertam à direita. Para multiplicar, abria-se um compasso do 1 até $a$ e levava-se essa abertura a partir de $b$: a ponta caía em $a\times b$, porque as distâncias se somam:

$$L\log a+L\log b=L\log(ab).$$

As duas réguas de Oughtred

Por volta de 1622, o pastor e matemático William Oughtred dispensou o compasso: pôs duas escalas iguais lado a lado, uma deslizando sobre a outra. Para calcular $2\times3{,}5$, coloca-se o 1 da escala de baixo sob o 2 da escala de cima e lê-se, em cima, o número que fica sobre o 3,5 de baixo: 7. Foi a primeira régua de cálculo.

A divisão é a mesma conta ao contrário: para $8\div2{,}5$, põe-se o 2,5 de baixo sob o 8 de cima e lê-se sobre o 1 de baixo: 3,2. A régua não diz onde fica a vírgula. Quem calcula precisa saber se a resposta é 3,2, 32 ou 0,32, exatamente como com a característica dos logaritmos de Briggs.

Uma régua de cálculo do século XX. As escalas centrais deslizam umas sobre as outras; o cursor transparente ajuda a ler.
Uma régua de cálculo do século XX. As escalas centrais deslizam umas sobre as outras; o cursor transparente ajuda a ler.Jacek Halicki · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

Trezentos e cinquenta anos

A régua de cálculo ganhou escalas para quadrados, raízes, senos e logaritmos, e um cursor de vidro com um fio para ler com precisão. Dava três algarismos certos, o que bastava para quase toda a engenharia. Pontes, aviões, usinas e foguetes foram projetados com ela. Os engenheiros do programa Apollo usavam réguas de cálculo, e havia uma a bordo das naves. A régua só desapareceu em poucos anos, depois de 1972, quando chegaram as calculadoras científicas de bolso.

Exercício: numa régua de 25 cm, a quantos centímetros da marca do 1 ficam o 2, o 4 e o 8?

As posições são $25\log x$: o 2 fica a $25\times0{,}301\approx7{,}5$ cm, o 4 a $25\times0{,}602\approx15{,}1$ cm e o 8 a $25\times0{,}903\approx22{,}6$ cm. As distâncias entre 1 e 2, entre 2 e 4 e entre 4 e 8 são iguais: multiplicar por 2 é sempre andar o mesmo pedaço.

Exercício: como calcular 4,5² e √20 numa régua com duas escalas iguais?

Para $4{,}5^2$, multiplique 4,5 por 4,5. Numa régua de uma só década, o 1 de baixo sob o 4,5 de cima deixaria a leitura fora da régua; usa-se então o 10 de baixo sob o 4,5 de cima e lê-se sobre o 4,5 de baixo: 2,025. Como $4{,}5^2$ está entre 16 e 25, a resposta é 20,25. Para $\sqrt{20}$, procure o número $x$ que, posto sob si mesmo, dá 20; é mais prático usar a escala de quadrados que as réguas modernas têm, onde se lê $\sqrt{20}\approx4{,}47$.

Fontes: Edmund Gunter, Description and Use of the Sector, the Crosse-staffe and other Instruments (1623) · William Oughtred, The Circles of Proportion and the Horizontall Instrument (1632) · Florian Cajori, A History of the Logarithmic Slide Rule (1909).

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