Ao falarmos de números naturais é necessário uma definição axiomática para os números naturais. Para isto, mostraremos como definir para os números naturais, as operações básicas.

Tabua.

Axiomas de Peano

Inicialmente vamos definir axiomaticamente o conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais. Para descrever tais propriedades, vamos usar os símbolos 0 (zero) e s (sucessor).

Tabua.
  • (a) $0 \in \mathbb{N};$
    • O zero pertence ao conjuntos dos números naturais.
  • (b) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \in \mathbb{N};$
    • Para todo número pertencente ao conjuntos dos naturais, o sucessor pertence aos naturais.
  • (c) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \neq 0;$
    • Para todo número pertencente ao conjuntos dos naturais, o sucessor é diferente de zero.
  • (d) $\forall m,n \in \mathbb{N}\quad s(n)=s(m) \Rightarrow n=m;$
    • Para todo dois pares de números pertencentes ao conjuntos dos naturais, tal que os sucessores são iguais, implica que estes números são iguais.
  • (e) Seja $P(x)$ uma propriedade sobre elementos de $\mathbb{N}.$ Se valem:
    • (i) $P(0);$
    • (ii) $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P(n)\Rightarrow P(s(n))$ Então vale $P(n)$ para todo $n \in \mathbb{N}.$
Tabua.

O axioma $(e)$ é conhecido como princípio de indução. O conjunto $\\{0, 1, 2, \dots\\}$ satisfaz as propriedades acima se interpretamos o símbolo $s(n)$ como $n + 1.$ Para notar que vale o princípio de indução em tal conjunto, suponha que não vale. Então existe $n$ o menor tal que não vale P(n).

Note que tal $n$ não pode ser o $0$ já que temos que vale $P(0).$

Sabemos então que $n = m + 1$ para algum $m \in \\{0, 1, 2, \dots\\}.$

Como $m < n,$ temos que vale $P(m).$

Logo, vale $P(s(m)).$ Mas $P(s(m)) = P(m + 1) = P(n)$, contradição.

Proposições

Proposição 1. Temos que $s(n) \neq n$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

Demonstração.

Vamos provar isso por indução. Ou seja, para concluirmos o que queremos, basta mostrarmos, utilizando o princípio de indução, a fórmula $P(x)$ vale para todo $x \in \mathbb{N},$ onde $P(x)$ é $s(x) \neq x.$

Para mostrar isso por indução, precisamos mostrar que vale $P(0)$ e que se vale $P(n)$ vale $P(s(n)).$

Note que $0 \neq s(0)$ já que $0 \in \mathbb{N}$ (por (a)) e, portanto, $s(0) \neq 0$ por (c). Agora seja $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \neq s(n).$

Suponha que $s(n) = s(s(n)).$

Por (d), temos que $n = s(n)$, contrariando nossa hipótese.

$\square$

Proposição 2. Se $n \in \mathbb{N}$ e $n \neq 0,$

então existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $n = s(m).$

Demonstração.

Para mostrarmos este resultado, vamos mostrar por indução. O

Para a fórmula $P(x)$ para todo $x \in \mathbb{N}$ em que $P(x)$ é a fórmula

$$x \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{existe} ~m~ \text{tal que} \quad x = s(m)$$

Note que

$$0 \neq 0 \Rightarrow \exists m,\quad 0 = s(m)$$

simplesmente porque não vale $0 \neq 0$ (não importa que também não valha o lado direito da implicação).

Agora suponha que para algum

$$n \in \mathbb{N}, \quad n \neq 0 \Rightarrow \exists m \quad n = s(m).$$

Suponha que $s(n) \neq 0.$ Considere $m = n.$

Note que, então $s(n) = s(m)$ como queríamos.

$\square$

Sucessor de um número natural

Tabua.
$$ \begin{aligned} \underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{a unidades} } + 1 &= \underbrace{1+1+\dots+1+1}_{\text{a +1 unidades} } \end{aligned} $$

Exemplo: o sucessor de 3 é 4

$$s(3)=4$$
Algarismo Sucessor
$1$ $s(1)=2$
$2$ $s(2)=3$
$3$ $s(3)=4$
$4$ $s(4)=5$

O par de números 1 e 2 $(1,2)$ são números consecutivos.

As crianças, bem como os adultos egípcios ou povos da antiguidade, efetuavam somas com o conceito de sucessores. Por exemplo, dados $a=7$ e $b=6$ a soma obtida por sucessor é dada por:

$$ \begin{aligned} 7 + 1 &= 8\\ 8 + 1 &= 9\\ 9 + 1 &= 10 \\ 10 + 1 &= 11 \\ 11 + 1 &= 12 \\ 12 + 1 &= 13 \\ \end{aligned} $$

Portanto, $7+6=13$ no sistema decimal arábico.

Estes são os conceitos dos axiomas de Peano. Aguardem os próximos posts.