Um gráfico de barras parece não precisar de explicação: barra mais alta, número maior. Na linguagem do capítulo 2, é um ícone: a altura se parece com a quantidade. Mas por trás de todo gráfico há uma convenção que o olho não lê: a escala. E quando a convenção muda, o ícone continua falando com a mesma confiança, agora dizendo outra coisa.

O eixo cortado

As vendas de uma empresa foram $96$, $98$, $101$ e $104$ em quatro anos seguidos. Um crescimento modesto: $8{,}3\%$ em três anos. Agora desenhe as barras com o eixo vertical começando em $95$, e não em $0$. A primeira barra fica com altura $1$; a última, com altura $9$. A última parece nove vezes maior que a primeira.

O desenho não mente sobre nenhum número: todos estão escritos ali. Mente sobre a relação entre eles, que é justamente o que um gráfico de barras promete mostrar. Em 1954, o jornalista americano Darrell Huff chamou esse truque de gráfico “uau” (gee-whiz graph) no livro Como mentir com estatísticas, que ainda hoje é leitura obrigatória em cursos de estatística.

A regra para as barras é simples: elas comparam comprimentos, e por isso devem começar no zero. Um gráfico de linhas é diferente: ele mostra variações, e começar o eixo perto dos dados pode ser legítimo, desde que a escala esteja escrita e não se use a altura da linha como medida de tamanho.

A escala logarítmica

Há escalas que distorcem de propósito, e para o bem. Uma grandeza que dobra a cada intervalo de tempo, como uma população de bactérias ou o número de casos no começo de uma epidemia, cresce de forma tão explosiva que, num gráfico comum, os primeiros valores ficam colados no chão e os últimos saem da página.

Na escala logarítmica, as marcas do eixo vertical não são $0, 10, 20, 30$, mas $1, 10, 100, 1000$: cada passo do mesmo tamanho multiplica por 10. Com isso, um crescimento exponencial vira uma reta, e a inclinação da reta diz a velocidade da multiplicação. Em 2020, muitos jornais mostraram as curvas da pandemia nas duas escalas, e boa parte do público descobriu que o mesmo dado podia parecer uma explosão ou uma rampa tranquila.

A escala logarítmica é um bom exemplo de signo que exige aprendizado. O olho lê a altura como quantidade; na escala log, ela representa a ordem de grandeza. Quem não percebe a troca de convenção lê o gráfico errado.

A proporção da caixa

Mesmo com o eixo no zero e a escala comum, a forma da caixa do gráfico muda a impressão. A mesma série de dados, desenhada num retângulo largo e baixo, parece estável; num retângulo estreito e alto, parece disparar. O estatístico William Cleveland propôs uma regra prática: escolher a proporção de modo que as inclinações importantes fiquem perto de $45°$, o ângulo em que o olho distingue melhor as diferenças de inclinação.

Exercício: o exagero do eixo

Com o eixo começando em $90$, quantas vezes a barra de $104$ parece maior que a de $96$? E começando em $100$?

Com o eixo em $90$, as alturas visíveis são $104-90=14$ e $96-90=6$: a última parece $\frac{14}{6}\approx2{,}3$ vezes maior. Com o eixo em $100$, a barra de $96$ nem aparece, e a de $104$ fica com altura $4$: o gráfico deixa de fazer sentido. A razão verdadeira é sempre $\frac{104}{96}\approx1{,}08$.

Exercício: uma reta na escala log

Uma população dobra a cada dia: $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ Numa escala logarítmica de base $10$, quanto a altura sobe por dia?

A altura é $\log_{10}$ do valor, e $\log_{10}(2^n)=n\log_{10}2\approx0{,}301\,n$. A cada dia, a altura sobe $0{,}301$ unidade: sobe sempre o mesmo tanto, por isso o desenho é uma reta. Em cerca de $3{,}3$ dias, sobe uma unidade inteira, que é multiplicar por 10.

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