Charles Sanders Peirce (1839–1914) foi, ao mesmo tempo, químico, astrônomo, geodesista, lógico e filósofo. Trabalhou trinta anos medindo a gravidade da Terra para o serviço costeiro dos Estados Unidos, criou, independentemente de Frege, uma notação para os quantificadores da lógica e, nas horas que sobravam, construiu a teoria dos signos mais influente do século XX. Morreu pobre, numa casa na Pensilvânia, deixando dezenas de milhares de páginas manuscritas que até hoje estão sendo editadas.

Charles Sanders Peirce (1839–1914), filósofo e lógico norte-americano.
Charles Sanders Peirce (1839–1914), filósofo e lógico norte-americano.Napoleon Sarony · New York Public Library · Wikimedia Commons · domínio público

Peirce era um lógico e pensava como um. Para ele, a semiótica era “a lógica em sentido amplo”, e as suas ideias servem para a matemática como uma luva.

Três, não dois

Saussure via o signo com duas faces: significante e significado. Peirce via três elementos:

  • o signo (ou representâmen): aquilo que se percebe, como a marca $\pi$ no papel;
  • o objeto: aquilo a que o signo se refere, a razão entre circunferência e diâmetro;
  • o interpretante: o efeito que o signo produz em quem o lê, a compreensão que ele desperta.

O interpretante não é a pessoa que lê. É o pensamento que o signo provoca, e esse pensamento é, por sua vez, um novo signo, que pode provocar outro, e assim por diante. Ao ver $2+3=5$, um leitor pode reconhecer uma igualdade, usá-la para conferir uma conta ou encaixá-la numa prova. O signo é o mesmo; o interpretante depende do que se está fazendo. Peirce chamava esse processo sem fim de semiose.

A relação signo–objeto–interpretante em Peirce. Os botões trocam o exemplo; o diagrama é uma simplificação didática.

Ícone, índice e símbolo

A classificação mais famosa de Peirce separa os signos pela maneira como se ligam ao objeto:

  • Um ícone representa por semelhança: um retrato, um mapa, um diagrama. O desenho de um triângulo é um ícone do triângulo.
  • Um índice representa por uma ligação de fato: a fumaça indica o fogo, a pegada indica quem passou, uma seta aponta para um ponto. Numa figura, a letra $A$ ao lado de um vértice é um índice: ela aponta “este aqui”.
  • Um símbolo representa por convenção ou hábito: as palavras, os algarismos, o $+$. Só funciona para quem aprendeu a regra.

Quase todo sinal matemático, à primeira vista, é um símbolo no sentido de Peirce, e é aí que vem a surpresa.

Toda equação é um ícone

Peirce percebeu que a classificação não vale sinal por sinal, mas para a expressão inteira. Os sinais de uma equação são símbolos, mas a equação, como um todo, é um ícone: a sua forma reproduz a forma das relações entre as quantidades. Ele escreveu:

Uma grande propriedade que distingue o ícone é que, pela observação direta dele, podem-se descobrir sobre o seu objeto outras verdades além das que bastam para determinar a sua construção. […] Toda equação algébrica é um ícone, na medida em que exibe, por meio dos sinais algébricos (que não são, eles mesmos, ícones), as relações das quantidades envolvidas.

— Charles S. Peirce, Collected Papers, 2.279 e 2.282 (c. 1893–1903)

A primeira frase é a melhor definição que existe do que, neste livro, chamamos de notação ativa. Uma escrita é ativa quando, olhando para ela, descobrimos coisas que não colocamos lá de propósito. A regra da cadeia de Leibniz é o exemplo perfeito: ninguém desenhou $\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}$ para que o $dy$ se cancelasse, mas a forma está lá, e quem olha para ela descobre a regra.

Veja outro exemplo, bem mais antigo. Desenhe um quadrado de lado $a+b$ e divida cada lado em dois pedaços, $a$ e $b$:

$$(a+b)^2 \;=\; \underbrace{a^2}_{\text{quadrado grande}} + \underbrace{ab+ab}_{\text{dois retângulos}} + \underbrace{b^2}_{\text{quadrado pequeno}} \;=\; a^2+2ab+b^2.$$

A figura é um ícone da identidade: olhando para ela, vemos que há dois retângulos, e é daí que vem o $2ab$ que tanto aluno esquece. A fórmula também é um ícone, só que de outra maneira: a sua forma deixa ver que trocar $b$ por $-b$ dá $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, sem precisar desenhar nada.

Os três modos juntos

Na prática, os três modos se misturam. Um gráfico cartesiano é icônico (a curva tem a forma do comportamento da função), indicial (cada ponto marcado aponta para um par de valores) e simbólico (os eixos, a escala e os rótulos são convenções). Por isso um gráfico pode enganar: a forma icônica parece dizer mais do que as convenções garantem. Uma curva que parece tocar o eixo pode passar um pouco acima dele; uma escala esticada pode transformar um crescimento pequeno numa escalada.

Peirce não deu uma tabela para classificar sinais; deu perguntas para lê-los. Diante de uma representação, vale perguntar: o que ela preserva do objeto? O que ela omite? Que convenções é preciso conhecer? E, sobretudo: que verdades novas se podem descobrir olhando para ela?

Exercício: ícone, índice ou símbolo?

Num gráfico de $y=x^2$ com o ponto $P=(2,4)$ marcado e uma seta apontando para ele:

  • a parábola desenhada é um ícone (tem a forma da relação: simétrica, com mínimo na origem);
  • a seta e a letra $P$ são índices (apontam para um ponto particular);
  • os números da escala e a expressão $y=x^2$ escrita ao lado são símbolos (dependem de convenções).

A própria expressão $y=x^2$, lida como um todo, também é icônica no sentido de Peirce: a sua forma mostra que trocar $x$ por $-x$ não muda $y$, que é exatamente a simetria da parábola.

Exercício: descubra uma verdade no ícone

Usando a figura do quadrado de lado $a+b$, calcule $11^2$ sem multiplicar. Com $a=10$ e $b=1$: $11^2=100+2\cdot10+1=121$. E $21^2$? $a=20$, $b=1$: $400+40+1=441$. A identidade, que era só uma figura, virou um método de cálculo mental, uma verdade que não estava “escrita” no desenho, mas que se descobre olhando para ele.

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