Resolver um triângulo retângulo significa calcular os seus elementos principais: os ângulos agudos ($\hat{B}$ e $\hat{C}$) e os lados ($a$, $b$, $c$). Para isso é necessário que sejam dadas duas informações sobre o triângulo, sendo pelo menos uma delas a medida de um segmento ligado a ele (lado, altura, mediana, bissetriz etc.) — só com ângulos, conhecemos a forma mas não o tamanho.

A história

Resolver triângulos retângulos foi, durante séculos, o trabalho diário de agrimensores, navegadores e artilheiros. Para medir ângulos no terreno, o inglês Leonard Digges descreveu um instrumento que chamou de theodelitus — o antepassado do teodolito, que até hoje aparece nas ruas sobre um tripé. A descrição saiu na Pantometria (“Medição universal”), livro que Leonard deixou inacabado e que o filho, Thomas Digges, completou e publicou em 1571. Com um ângulo medido e uma distância conhecida, as tábuas trigonométricas davam o resto.

Medir uma torre sem subir nela: com o teodolito mede-se o ângulo $\alpha$ da visada até o topo e com a corrente, a distância $d$ até a base; a altura acima do instrumento é $h = d\operatorname{tg}\alpha$.

Fontes: Thomas Digges (MacTutor) · L. Digges e T. Digges, Pantometria (1571).

No dia a dia

  • Escada de bombeiros. Uma escada de 20 m inclinada a $70^\circ$ alcança $20\operatorname{sen} 70^\circ \approx 18{,}8$ m de altura (mais a altura do caminhão).
  • Rampa de acesso. Para vencer 80 cm com 8,33% de inclinação, a rampa precisa de $0{,}80 \div 0{,}0833 \approx 9{,}6$ m de projeção horizontal.
  • Pipas e drones. Com 100 m de linha a $35^\circ$ do chão, uma pipa está a cerca de $100\operatorname{sen} 35^\circ \approx 57$ m de altura (a linha real faz uma curva, então é uma estimativa por cima).
A escada dos bombeiros: com 20 m a $70^\circ$, a ponta chega a $20\operatorname{sen}70^\circ \approx 18{,}8$ m.

Teoria

Há cinco problemas clássicos de resolução de triângulos retângulos. Em todos, $\hat{A} = 90^\circ$.

Exemplo1º problema — dados a hipotenusa a e um ângulo agudo B

$$\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \qquad b = a\operatorname{sen}\hat{B} \qquad c = a\cos\hat{B}$$

Exemplo2º problema — dados a hipotenusa a e um cateto b

$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a} \Rightarrow \hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\frac{b}{a}$$$$\cos\hat{C} = \frac{b}{a} \Rightarrow \hat{C} = \operatorname{arc\,cos}\frac{b}{a}$$

Exemplo3º problema — dados um cateto b e o ângulo adjacente C

$$\hat{B} = 90^\circ - \hat{C} \qquad c = b \cdot \operatorname{tg}\hat{C} \qquad a = \frac{b}{\cos\hat{C}}$$

Exemplo4º problema — dados um cateto b e o ângulo oposto B

$$\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \qquad c = \frac{b}{\operatorname{tg}\hat{B}} \qquad a = \frac{b}{\operatorname{sen}\hat{B}}$$

Exemplo5º problema — dados os dois catetos b e c

$$a = \sqrt{b^2 + c^2}$$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{b}{c} \Rightarrow \hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\frac{b}{c}$$$$\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b} \Rightarrow \hat{C} = \operatorname{arc\,tg}\frac{c}{b}$$

AtençãoDados que não são lados

Quando os dados são outros segmentos — altura, bissetriz, perímetro, raio da circunferência inscrita —, monte primeiro as equações que os ligam aos lados (as relações métricas da primeira seção ajudam muito) e só depois recaia num dos cinco problemas. É o que acontece nos exercícios 352 a 359.

ExemploUm exemplo completo

Resolver o triângulo retângulo com $a = 10$ e $\hat{B} = 30^\circ$ (1º problema): $\hat{C} = 60^\circ$, $b = 10\operatorname{sen} 30^\circ = 5$ e $c = 10\cos 30^\circ = 5\sqrt{3}$. Conferindo com Pitágoras: $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$.

Aplicação: a rampa mais curta

Encostado numa parede há um bloco de largura $a$ e altura $b$. Uma rampa reta deve sair do chão, passar exatamente pela quina de cima do bloco e terminar na parede. Quanto mais curta a rampa, menos material de revestimento (mármore, granito) ela gasta. Qual inclinação $\alpha$ dá a rampa mais curta?

A quina divide a rampa em dois pedaços, cada um hipotenusa de um triângulo retângulo. O de cima tem cateto horizontal $a$, adjacente a $\alpha$; o de baixo tem cateto vertical $b$, oposto a $\alpha$. Então

$$L(\alpha) = \frac{a}{\cos\alpha} + \frac{b}{\operatorname{sen}\alpha}.$$

Rampa muito em pé ou muito deitada fica longa; o melhor está no meio. Com derivadas, igualando $L'(\alpha)$ a zero, chega-se a $\dfrac{a\operatorname{sen}\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{b\cos\alpha}{\operatorname{sen}^2\alpha}$, isto é,

$$\operatorname{tg}^3\alpha^\star = \frac{b}{a} \qquad\Longrightarrow\qquad \operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}.$$
Mude a inclinação e veja o comprimento $L(\alpha)$ no gráfico. O ponto verde é o mínimo, em $\operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{b/a}$.

ExemploUm bloco de 8 m de largura e 1 m de altura

Com $a = 8$ e $b = 1$: $\operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$. Então $\cos\alpha^\star = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\operatorname{sen}\alpha^\star = \frac{1}{\sqrt{5}}$ e

$$L_{\min} = \frac{8\sqrt{5}}{2} + \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{1} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18 \text{ m}.$$

O mesmo cálculo responde à pergunta clássica: qual a escada mais curta que, apoiada no chão, passa por cima de um muro de altura $b$ e alcança uma parede a uma distância $a$ atrás do muro?

Os exercícios desta seção são os de números 352 a 359 da lista do capítulo.