Uma das relações mais importantes da matemática moderna são as relações de equivalências. Para isto propriedades importantes devem ser mostradas.

Propriedades de Relações

Iniciamos a seção com as propriedades de uma relação $\mathcal{R}$ sobre um conjunto $A$. Como ponto de partida segue a definição:

Definição Seja $\mathcal{R}$ uma relação sobre um conjunto $A.$ Então dizemos que:

  • $\mathcal{R}$ é reflexiva se a condição:
    • $(\forall x \in A)(x\mathcal{R} x)$ for verdadeira
    • se para todo $x \in A, (x, x) \in R.$ colecao
  • $\mathcal{R}$ é simétrica se a condição:
    • $(\forall x,y \in A)(x\mathcal{R} y \longrightarrow y\mathcal{R} x)$ for verdadeira.
    • se para todo $x, y \in A,$ se $(x, y) \in \mathcal{R} ,$ então $(y, x) \in \mathcal{R} .$ colecao
  • $\mathcal{R}$ é transitiva se a condição:
    • $(\forall x, y, z \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} z \longrightarrow x\mathcal{R} z)$ for verdadeira
    • se para todo $x, y, z \in A,$ se $(x, y) \in \mathcal{R} $ e $(y, z) \in \mathcal{R},$ então $(x, z) \in \mathcal{R}.$ colecao
  • $\mathcal{R}$ é anti-simétrica se a condição:
    • $(\forall x, y \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} x \longrightarrow x = y)$ for verdadeira
    • se para todo $x, y \in A,$ se $(x, y) \in \mathcal{R}$ e $(y, x) ∈ \mathcal{R},$ então $x = y.$ colecao

Exemplos

A seguir apresentamos alguns exemplos das propriedades de relações:

Exemplo 1. Sejam $A$ um conjunto qualquer. A relação sobre $A$:

$$\Delta = \\{(x,x); x\in A\\}$$

Suponha que esta relação seja reflexiva, simétrica e transitiva. Neste caso chamamos de relação identidade ou diagonal.

colecao

Exemplo 2. Sejam $A$ um conjunto qualquer. A relação $A\times A$ sobre $A$.

Suponha que esta relação seja reflexiva, simétrica e transitiva. Neste caso não é anti-simétrica.

colecao

Exemplo 3. Sejam $A=\\{a,b,c\\}$. A relação:

  • $\mathcal{R}_1 = \\{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)\\}$ Suponha que esta relação seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Neste caso não é simétrica.
  • $\mathcal{R}_2 = \\{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)\\}$ Suponha que esta relação seja simétrica e transitiva. Neste caso não é reflexiva e nem anti-simétrica.
  • $\mathcal{R}_3 = \\{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a), (b,c)\\}$ Neste caso não é simétrica, nem transitiva, nem reflexiva e nem anti-simétrica.
colecao

Exemplo 4. Sejam $A=\mathbb{N}$. A relação:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x \text{ é um divisor de } y\\}$$

Neste caso é uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Porém, não é simétrica.

colecao

Exemplo 5. Sejam $A=\mathbb{Z}$. A relação:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$

Neste caso é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva. Porém, não é anti-simétrica.

colecao

Exemplo 6. Sejam $A$ uma família de conjuntos. Para $X, Y \in A,$ a relação “$X$ está contido em $Y$” é uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Porém, não é simétrica.

colecao

Exemplo 7. Sejam $A$ conjunto das proposições. Para $p, q \in A,$ a relação “Se $p$ então $q$” é uma relação reflexiva e transitiva. Não é simétrica e nem anti-simétrica.

colecao

Este é o resumo das propriedades de relações. Aguardem os próximos posts.