Toda escrita matemática tem um leitor. Às vezes o leitor é outra pessoa; às vezes é o próprio autor, dias ou anos depois. Os dois pedem escritas muito diferentes, e dois cadernos famosos mostram o que acontece quando um texto escrito para si mesmo cai nas mãos de outros.

O diário de Gauss

Em 30 de março de 1796, um estudante de 18 anos em Göttingen abriu um caderno pequeno e anotou, em latim, que tinha descoberto como dividir a circunferência em 17 partes iguais com régua e compasso, um problema aberto desde os gregos. Era Carl Friedrich Gauss, e foi esse resultado que o fez escolher a matemática em vez da filologia. Nos dezoito anos seguintes, ele escreveu no caderno 146 anotações curtas, quase sempre uma frase, às vezes uma fórmula.

A primeira anotação do diário de Gauss, de 30 de março de 1796: os princípios em que se apoia a divisão do círculo em dezessete partes.
A primeira anotação do diário de Gauss, de 30 de março de 1796: os princípios em que se apoia a divisão do círculo em dezessete partes.Carl Friedrich Gauss · Wikimedia Commons · domínio público

A anotação de 10 de julho de 1796 é a mais célebre:

“ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ”: todo número é a soma de três números triangulares. Diário de Gauss, 10 de julho de 1796.
“ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ”: todo número é a soma de três números triangulares. Diário de Gauss, 10 de julho de 1796.Carl Friedrich Gauss · Wikimedia Commons · domínio público

São cinco sinais e uma palavra grega. Para Gauss, bastavam: ele sabia que $\Delta$ queria dizer número triangular ($0, 1, 3, 6, 10, 15, \ldots$, os números da forma $\frac{n(n+1)}{2}$), que “num” queria dizer qualquer número inteiro positivo, e que o “eureka” celebrava a demonstração de uma afirmação que Fermat fizera em 1638 sem prova. A demonstração completa saiu cinco anos depois, nas Disquisitiones arithmeticae.

Outras anotações não tiveram a mesma sorte. A de 21 de outubro de 1796 diz apenas Vicimus GEGAN, “vencemos GEGAN”, e até hoje ninguém sabe o que GEGAN significa. O diário ficou com a família e só foi encontrado em 1897; Felix Klein o publicou em 1903, e os historiadores ainda discutem algumas linhas. Uma notação ótima para quem escreve pode ser muda para quem lê.

Os cadernos de Ramanujan

O indiano Srinivasa Ramanujan aprendeu matemática quase sozinho, num livro de fórmulas sem demonstrações, e escreveu do mesmo jeito. Entre 1903 e 1914 encheu três cadernos com cerca de 3 900 resultados, quase todos sem prova: identidades, frações contínuas, séries para $\pi$. Muitos estavam certos e eram novos; alguns estavam errados; vários eram tão surpreendentes que G. H. Hardy, ao ver os primeiros, disse que só podiam ser verdadeiros, porque ninguém teria imaginação para inventá-los.

Uma página dos cadernos de Ramanujan, com o resultado que hoje se chama teorema mestre de Ramanujan.
Uma página dos cadernos de Ramanujan, com o resultado que hoje se chama teorema mestre de Ramanujan.Srinivasa Ramanujan · Wikimedia Commons · domínio público

Transformar esses cadernos em matemática legível levou quase um século. O americano Bruce Berndt publicou, entre 1985 e 1998, cinco volumes só para demonstrar ou corrigir os resultados dos cadernos. E em 1976, George Andrews encontrou na biblioteca do Trinity College, em Cambridge, um maço de folhas do último ano de vida de Ramanujan, o “caderno perdido”, que também levou décadas para ser decifrado.

Escrever para os outros

O diário de Gauss e os cadernos de Ramanujan são escritas para pensar: rápidas, comprimidas, cheias de sinais cujo sentido só o autor conhecia. Essa escrita é preciosa, e todo estudante deveria ter a sua. Mas ela não é a escrita para comunicar.

O problema básico de escrever matemática é o mesmo de escrever sobre biologia, escrever um romance ou escrever as instruções para montar um cravo: o problema é comunicar uma ideia.

— Paul Halmos, “How to write mathematics” (1970)

O húngaro-americano Paul Halmos e, em 1989, o americano Donald Knuth, criador do TeX, reuniram conselhos que valem para qualquer solução escrita de exercício:

  • Escreva frases completas. Sinais e palavras formam uma frase só, com pontuação.
  • Não comece uma frase com um símbolo. Em vez de “$x$ é positivo”, “O número $x$ é positivo”.
  • Separe duas fórmulas com palavras. “Se $x > 2$, então $x^2 > 4$”, e não “$x > 2$, $x^2 > 4$”.
  • Use palavras no lugar de $\Rightarrow$, $\forall$, $\exists$ no meio do texto. Os sinais servem às fórmulas; o texto tem verbos.
  • Diga o que vai fazer antes de fazer. “Vamos mostrar que $n^2$ é ímpar” orienta o leitor pelo resto do parágrafo.
Exercício: um eureka para o 20

Escreva $20$ como soma de três números triangulares. Há mais de uma maneira?

Os triangulares até $20$ são $0, 1, 3, 6, 10, 15$. Com o $15$, faltariam $5$, que não é soma de dois triangulares ($0+3$, $1+3$ e $3+3$ não dão $5$). Com dois $10$, basta o $0$: $10 + 10 + 0 = 20$. Com um único $10$, faltariam $10$ com dois triangulares menores, e $6+3 = 9$ e $6+6 = 12$ não servem. Sem $10$ nem $15$, o máximo é $6+6+6 = 18$. A única maneira é $10 + 10 + 0$, como a figura confirma.

Exercício: traduzir o diário

Reescreva “ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ” como uma frase completa, no estilo de Halmos e Knuth.

“Todo número inteiro positivo $n$ pode ser escrito como $n = \frac{a(a+1)}{2} + \frac{b(b+1)}{2} + \frac{c(c+1)}{2}$, com $a$, $b$ e $c$ inteiros maiores ou iguais a zero; isto é, todo inteiro positivo é a soma de três números triangulares.” A frase é vinte vezes mais longa, e é isso que um leitor precisa para não depender da cabeça de Gauss.

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