Com a ajuda desta tabela, levei menos de meio quarto de hora para descobrir que as décimas potências dos mil primeiros números, somadas, dão 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

— Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte II

Conta-se que Gauss, menino, somou de 1 a 100 em segundos, emparelhando o primeiro com o último: $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$. Para os quadrados e os cubos também há fórmulas, conhecidas desde Arquimedes e os árabes:

$$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$

E para as potências quartas, quintas, décimas? No século XVII, vários matemáticos encheram páginas com essas fórmulas, uma de cada vez. O francês Ismaël Boulliau publicou em 1682 um livro volumoso que, com muito esforço, chegava só até as sextas potências. Jakob Bernoulli achou uma regra que dá todas.

A tabela

Na segunda parte da Ars conjectandi, Jakob escreveu as fórmulas, uma embaixo da outra, e olhou para elas com atenção:

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$

Há um padrão. A soma das potências $m$ é sempre um polinômio de grau $m+1$. O primeiro coeficiente é $\frac1{m+1}$, como na integral $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$. O segundo é sempre $\frac12$. E os seguintes parecem os coeficientes do binômio $(n+1)^{m+1}$, só que multiplicados por certos números fixos.

Os números misteriosos

Jakob percebeu que bastava uma lista de números, que hoje se escrevem $B_0,B_1,B_2,\dots$ e se chamam números de Bernoulli, para escrever todas as fórmulas de uma vez:

$$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$

Como achar os $B_j$? Há um truque simples: a fórmula tem de valer para $n=1$, quando a soma é só $1^m=1$. Pondo $n=1$, todas as potências de $n$ viram 1, e sobra

$$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1.$$

Começando com $B_0=1$, cada valor de $m$ dá o próximo número:

  • $m=1$: $1+2B_1=2$, então $B_1=\frac12$.
  • $m=2$: $1+3\cdot\frac12+3B_2=3$, então $B_2=\frac16$.
  • $m=3$: $1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$, então $B_3=0$.
  • $m=4$: $1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$, então $B_4=-\frac1{30}$.

Continuando, $B_6=\frac1{42}$, $B_8=-\frac1{30}$, $B_{10}=\frac5{66}$, e todos os de índice ímpar maior que 1 são zero. Os números não seguem nenhum padrão óbvio: $B_{12}=-\frac{691}{2730}$, e daí em diante crescem muito depressa.

Os sete minutos

Com a lista, a fórmula para as décimas potências sai direto:

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k^{10}={}&\tfrac1{11}n^{11}+\tfrac12n^{10}+\tfrac56n^9-n^7\\&+n^5-\tfrac12n^3+\tfrac5{66}n.\end{aligned}$$

Para $n=1\,000$, cada termo é uma potência de 10 vezes uma fração simples. O primeiro é $\frac{10^{33}}{11}=90\,909\,090\ldots$, o segundo é $5\cdot10^{29}$, o terceiro é $\frac{10^{27}\cdot5}6$, e assim por diante. Somá-los é trabalho de alinhar casas decimais. Daí a provocação da citação: Jakob fez em “meio quarto de hora”, uns sete minutos, a conta que Boulliau não conseguiria com o seu livro inteiro.

Por que funciona

A ideia que está por trás de tudo é a de diferença. Se $F(n)=\sum_{k=1}^n k^m$, então $F(n)-F(n-1)=n^m$. Ora, se $F$ é um polinômio de grau $m+1$, a diferença $F(n)-F(n-1)$ é um polinômio de grau $m$. Então procurar a fórmula é procurar um polinômio cuja diferença seja $n^m$: é a versão discreta de procurar uma função cuja derivada seja $x^m$. Os números de Bernoulli medem quanto a soma se afasta da integral.

Essa ponte entre somas e integrais foi desenvolvida por Euler e Maclaurin, por volta de 1735, numa fórmula que leva o nome dos dois e em que os números de Bernoulli aparecem em cada termo. Em 1843, Ada Lovelace escreveu um algoritmo para calcular os números de Bernoulli na máquina analítica de Charles Babbage. É considerado o primeiro programa de computador publicado.

Exercício: use a fórmula para conferir a soma dos quartos de 1 a 10.

Com $m=4$: $\sum k^4=\frac15n^5+\frac12n^4+\frac13n^3-\frac1{30}n$. Para $n=10$:

$$20\,000+5\,000+333{,}\overline3-0{,}\overline3=25\,333.$$

Confira somando: $1+16+81+256+625+1\,296+2\,401+4\,096+6\,561+10\,000=25\,333$.

Exercício: por que a soma dos cubos é o quadrado da soma dos números?

Pela tabela, $\sum k^3=\frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2=\frac{n^2(n^2+2n+1)}4=\frac{n^2(n+1)^2}4$, que é $\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$. Por exemplo, $1^3+2^3+3^3+4^3=100=(1+2+3+4)^2$. Com $n=100$, a soma dos cubos é $5\,050^2=25\,502\,500$.

Fontes: Jakob Bernoulli, The Art of Conjecturing, parte II, cap. 3, trad. Edith Dudley Sylla (Johns Hopkins, 2006) · Donald E. Knuth, “Johann Faulhaber and sums of powers”, Mathematics of Computation 61 (1993) · biografia de Seki Takakazu, MacTutor.

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