Estudou e quase dominou os seis primeiros livros de Euclides depois de ter sido deputado.

— Abraham Lincoln, nota autobiográfica (1860)

Os Elementos são, depois da Bíblia, um dos livros mais vezes copiados, traduzidos e impressos da história. Desde a primeira edição impressa, em Veneza, em 1482, houve mais de mil edições. Durante mais de dois mil anos, “estudar geometria” quis dizer “estudar Euclides”.

A primeira edição impressa dos Elementos, feita por Erhard Ratdolt em Veneza, em 1482, numa tradução latina. As figuras ficam nas margens, ao lado do texto; um leitor antigo encheu as páginas de anotações.
A primeira edição impressa dos Elementos, feita por Erhard Ratdolt em Veneza, em 1482, numa tradução latina. As figuras ficam nas margens, ao lado do texto; um leitor antigo encheu as páginas de anotações.Folger Shakespeare Library · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

As muitas faces de um livro

O antigo curso de trigonometria deste site reunia algumas edições que mudaram a forma de apresentar Euclides:

Ano Autor Edição
c. 1120 Adelardo de Bath Tradução do árabe para o latim
1482 Erhard Ratdolt Primeira edição impressa, em Veneza
1570 Henry Billingsley Primeira tradução inglesa, com figuras de papel que se dobram em três dimensões
1607 Matteo Ricci e Xu Guangqi Tradução chinesa dos seis primeiros livros, em Pequim
1698 Samuel Reyher Euclides… mit algebraischen Zeichen, Euclides com sinais algébricos
1847 Oliver Byrne The First Six Books of the Elements of Euclid, em que as letras são trocadas por cores

A edição de Byrne é uma das mais bonitas já impressas. Em vez de “o triângulo $ABC$”, ele desenha o triângulo em amarelo, vermelho e azul, e as demonstrações viram sequências de pequenas figuras coloridas. Na época, foi um fracasso de vendas; hoje é peça de museu e inspiração para designers.

Uma edição árabe dos Elementos, na versão de Nasir al-Din al-Tusi, impressa em Roma em 1594.
Uma edição árabe dos Elementos, na versão de Nasir al-Din al-Tusi, impressa em Roma em 1594.Biblioteca Houghton, Universidade Harvard · Wikimedia Commons · domínio público

O método

Mais importante que os teoremas foi o método. Isaac Newton escreveu os Principia (1687) imitando os Elementos: definições, axiomas, que ele chamou de leis do movimento, e proposições provadas uma a uma. Espinosa escreveu a sua Ética (1677) “em ordem geométrica”, com definições, axiomas e proposições sobre Deus e a alma. A Declaração de Independência dos Estados Unidos começa por verdades consideradas evidentes, como axiomas, e deduz delas o direito à independência.

Abraham Lincoln, advogado no interior de Illinois, percebeu que não sabia o que significava demonstrar. Para descobrir, conta-se, levava os Elementos nas viagens pelos tribunais; estudou os seis primeiros livros, como ele mesmo registra na citação acima.

Hilbert e a matemática moderna

Em 1899, o alemão David Hilbert publicou os Fundamentos da Geometria, refazendo o trabalho de Euclides com o rigor moderno: vinte axiomas, sem nenhuma lacuna e sem nenhum apelo ao desenho. Os termos “ponto”, “reta” e “plano” deixaram de ter significado próprio; importava só o que os axiomas diziam sobre eles. Esse jeito de fazer matemática, partindo de axiomas explícitos, tornou-se o padrão de todas as áreas no século XX. É, no fundo, o método de Euclides levado às últimas consequências.

O que ficou

  • Geometria. Triângulos, círculos, semelhança, áreas e volumes, o teorema de Pitágoras e os cinco poliedros regulares.
  • Aritmética. O algoritmo de Euclides, a infinidade dos primos e a construção dos números perfeitos pares, $2^{p-1}(2^p-1)$.
  • Álgebra. As identidades do Livro II, que al-Khwarizmi usou para resolver equações do segundo grau.
  • Lógica. A ideia de partir de definições e postulados explícitos e provar tudo o mais.
  • Novas geometrias. O quinto postulado, que levou à geometria hiperbólica e, por ela, à geometria do espaço-tempo.

Para lembrar

  • Euclides viveu em Alexandria por volta de 300 a.C. Quase nada se sabe da sua vida; tudo se sabe da sua obra.
  • Os Elementos têm treze livros e 465 proposições, todas deduzidas de definições, cinco postulados e cinco noções comuns.
  • Com régua e compasso, dois círculos de raio $AB$ constroem o triângulo equilátero; a área é $\frac{\sqrt3}4s^2$.
  • Nos triângulos retângulos, $a^2=b^2+c^2$: os dois retângulos sob a hipotenusa têm as áreas dos dois quadrados dos catetos.
  • $(x+5)^2=64$ resolve $x^2+10x=39$: completar o quadrado é álgebra feita com áreas.
  • $\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(b,r)$: o algoritmo de Euclides divide até o resto ser zero.
  • $p_1p_2\cdots p_n+1$ tem um fator primo fora da lista: os primos não acabam.
  • Sem o quinto postulado, existem geometrias em que a soma dos ângulos de um triângulo não é $180°$.

Fontes: Thomas L. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements (Dover, 1956), vol. 1 · Benno Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics (Springer, 1999) · Euclides, MacTutor.

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