Euler's Eyes
2026-10-11
Consequências — bases médias
Ligue os pontos médios de dois lados de um triângulo: o segmento é paralelo ao terceiro lado e mede a metade dele.
Quem descobriu
O teorema da base média é um caso particular da proposição VI.2 dos Elementos de Euclides: uma reta paralela a um lado de um triângulo divide os outros dois lados na mesma proporção. Uma consequência bonita tem autor conhecido: o francês Pierre Varignon (1654–1722) mostrou que, ligando os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero, obtém-se sempre um paralelogramo. O resultado foi publicado depois de sua morte, em 1731.
A história
Varignon era padre, professor de matemática em Paris e um dos primeiros defensores na França do cálculo de Leibniz. O “paralelogramo de Varignon” é uma aplicação direta da base média: cada lado dele é base média de um triângulo formado por uma diagonal do quadrilátero.
A base média do trapézio, igual à média das bases, explica a fórmula da área do trapézio registrada por Heron: a média das bases multiplicada pela altura.
No dia a dia
- Escadas de mão. Numa escada que se estreita para cima, o degrau do meio mede a média entre o primeiro e o último.
- Prateleiras em trapézio. Numa estante com laterais inclinadas, a prateleira do meio tem a média das larguras da base e do topo.
- Tesouras de telhado. A peça horizontal que liga os pontos médios das duas águas mede metade do vão e fica paralela à base.
- Pontos médios no desenho. Em programas de desenho, ligar pontos médios de uma forma qualquer gera um paralelogramo, como previu Varignon.
Fontes: Elementos, proposição VI.2 · Varignon (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaBase média do triângulo
a) Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e mede metade dele:
$$(AM = MB,\ AN = NC) \Rightarrow \overline{MN} \parallel \overline{BC} \ \text{ e } \ MN = \frac{BC}{2}.$$b) Recíproca: se um segmento paralelo a um lado tem uma extremidade no ponto médio de outro lado e a outra no terceiro lado, então essa extremidade é ponto médio do terceiro lado.
Ver a demonstração
Por $C$, traçamos a reta paralela a $\overleftrightarrow{AB}$, que corta a reta $MN$ em $D$. Então $\hat{C} \equiv \hat{A}$ (alternos); com $AN = CN$ e os ângulos o.p.v. em $N$, por ALA, $\triangle AMN \equiv \triangle CDN$. Assim $CD = AM = MB$ e $MN = DN$. Como $\overline{CD}$ e $\overline{MB}$ são paralelos e congruentes, $MBCD$ é paralelogramo: $\overline{MD} \parallel \overline{BC}$ e $MD = BC$. Logo $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ e $MN = \dfrac{MD}{2} = \dfrac{BC}{2}$. A recíproca sai do postulado das paralelas: a paralela a $\overline{BC}$ por $M$ é única.
TeoremaBase média do trapézio
a) Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio, então ele é paralelo às bases e mede a semissoma delas:
$$MN = \frac{AB + CD}{2}.$$b) Recíproca: um segmento paralelo às bases com uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados tem a outra extremidade no ponto médio do lado restante.
Ver a demonstração
Seja $E$ o encontro das retas $DN$ e $AB$. Como $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$, $\hat{B} \equiv \hat{C}$; com $BN = CN$ e os o.p.v. em $N$, por ALA, $\triangle BEN \equiv \triangle CDN$: $EN = DN$ e $BE = CD$. No $\triangle ADE$, $M$ e $N$ são pontos médios de $\overline{AD}$ e $\overline{DE}$. Pela base média do triângulo, $\overline{MN} \parallel \overline{AE}$ e $MN = \dfrac{AE}{2} = \dfrac{AB + BE}{2} = \dfrac{AB + CD}{2}$.