O triângulo de Pascal: somar para construir

Escreva um $1$. Embaixo, dois $1$. A partir daí, cada linha começa e termina com $1$, e cada número do meio é a soma dos dois que estão logo acima:

É só isso. Uma regra que uma criança aprende em um minuto produz uma das tabelas mais ricas da matemática. Hoje ela se chama triângulo de Pascal, mas Pascal foi um dos últimos a encontrá-la.

Um triângulo com muitos donos

Na Índia, por volta do século II a.C., o poeta Pingala contava de quantas maneiras se pode combinar sílabas longas e curtas num verso, e chegou aos mesmos números. No século X, o comentador Halayudha desenhou a tabela e a chamou de Meru-prastara, a “escada do monte Meru”.

Em Bagdá, por volta do ano 1000, al-Karaji usou o triângulo para expandir potências como $(a+b)^5$. O livro dele se perdeu, mas um século e meio depois, por volta de 1150, al-Samaw’al copiou a tabela e o raciocínio, dando o crédito a al-Karaji. Na Pérsia, o triângulo também é associado ao poeta e matemático Omar Khayyam.

Na China, Jia Xian o usava por volta de 1050 para extrair raízes. Yang Hui o publicou em 1261, e Zhu Shijie o desenhou em 1303 no livro Espelho de jade dos quatro elementos, com os números escritos em barras de contar.

Na Europa, o triângulo apareceu impresso na capa de um livro de aritmética de Petrus Apianus, em 1527. Depois foi usado por Michael Stifel, em 1544, e por Niccolò Tartaglia, em 1556. Até hoje, na Itália, ele se chama triângulo de Tartaglia; no Irã, triângulo de Khayyam; na China, triângulo de Yang Hui.

O tratado de Pascal

Em 1654, enquanto discutia apostas com Fermat, Pascal escreveu o Tratado do triângulo aritmético, com uma versão em francês e outra em latim. Ele começa assim:

O triângulo aritmético se constrói assim: de um ponto qualquer Z, traçam-se duas retas perpendiculares, ZL e ZT, e em cada uma delas marcam-se quantas partes iguais se quiser.

— Blaise Pascal, Triangulus arithmeticus (1654)

O triângulo de Pascal era, na verdade, um quadriculado em forma de escada. Ele chamava cada quadradinho de célula, as linhas de fileiras paralelas, as colunas de fileiras perpendiculares e as diagonais de bases. Cada célula vale a soma da célula de cima com a da esquerda, o que é a mesma regra que usamos hoje, só que girada.

Pascal não descobriu a tabela. O que ele fez foi provar, uma a uma, dezenove propriedades dela e mostrar como usá-la em três problemas diferentes: contar combinações, expandir potências e dividir apostas. Foi tão completo que, cinquenta anos depois, Pierre de Montmort a chamou de “tabela do senhor Pascal”, e Abraham de Moivre, de Triangulum arithmeticum Pascalianum. O nome pegou.

A regra, com nomes

Numeramos as linhas a partir de $0$ e as posições dentro de cada linha também a partir de $0$. Chamamos de $C(n,k)$ o número da linha $n$ na posição $k$. A regra de construção é

com $C(n,0)=C(n,n)=1$. Por exemplo, na linha 5, $C(5,2)=C(4,1)+C(4,2)=4+6=10$.

Experimente: escolha uma linha e uma posição. Cada número do meio é a soma dos dois vizinhos de cima.

A fonte que divide a água

Imagine uma fonte de taças empilhadas. A água cai na taça do topo e transborda metade para cada lado, caindo em duas taças da fileira de baixo. Cada uma delas também transborda metade para cada lado, e assim por diante.

A taça do meio da terceira fileira recebe $\frac14$ da taça da esquerda e $\frac14$ da taça da direita: ao todo, $\frac24$. Na quarta fileira as taças recebem $\frac18,\frac38,\frac38,\frac18$. Os numeradores são exatamente as linhas do triângulo: a taça do topo é a linha 0, e na linha $n$ o denominador é $2^n$. Como nenhuma água se perde, cada fileira soma $1$.

Isso explica a propriedade mais famosa da tabela: a soma da linha $n$ é $2^n$.

O motivo é que cada número de uma linha é usado duas vezes na linha seguinte: uma vez à sua esquerda e outra à sua direita. Então a soma da linha seguinte é o dobro. Começando de $1$, depois de $n$ linhas a soma vale $2^n$.

Os números escondidos nas diagonais

Leia o triângulo na diagonal. A primeira diagonal é só de $1$. A segunda é $1,2,3,4,5,\dots$, os números naturais. A terceira é $1,3,6,10,15,\dots$, os números triangulares: o número de bolinhas que formam um triângulo. A quarta é $1,4,10,20,35,\dots$, os números de bolinhas numa pirâmide de base triangular.

Pascal conhecia todas essas diagonais e escreveu um texto só sobre elas, em latim: Numeri figurati, os “números figurados”.

Fontes: biografia de Pascal, MacTutor · al-Karaji, MacTutor · Yang Hui, MacTutor.

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