Euler's Eyes
2026-10-22
Relações fundamentais
Todas as relações deste tópico saem de duas ferramentas da geometria plana: o teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos. A figura abaixo mostra os três triângulos que usaremos.
A história
No Almagesto, Ptolomeu já usava o equivalente de $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$: se conhecia a corda de um arco, obtinha a corda do arco suplementar pelo teorema de Pitágoras no triângulo inscrito na semicircunferência. As relações com tangente e secante aparecem nos trabalhos de Abu al-Wafa (século X) e de Nasir al-Din al-Tusi (século XIII), cujo Tratado sobre o quadrilátero tornou a trigonometria uma disciplina independente da astronomia.
- Nasce em Tus, no Coração. O pai, jurista, o incentiva a estudar todas as ciências.
- Estuda filosofia, medicina e matemática numa das grandes cidades de saber do Irã, pouco antes da chegada dos mongóis.
- Vive nas fortalezas ismaelitas das montanhas, como Alamut, onde escreve boa parte da obra.
- Acompanha Hulagu, neto de Gengis Khan, na conquista de Bagdá.
- Dirige o grande observatório financiado por Hulagu, com biblioteca e astrônomos vindos de longe. Ali escreve o Tratado sobre o quadrilátero.
- Morre em Bagdá.
Fontes: Al-Tusi (MacTutor) · Trigonometric functions (MacTutor).
No dia a dia
- Telas. O tamanho de uma TV é a diagonal. Numa tela 16:9 de 50 polegadas, $\operatorname{tg}\theta = \frac{9}{16}$, e a largura e a altura são $50\cos\theta \approx 43{,}6$ e $50\operatorname{sen}\theta \approx 24{,}5$ polegadas.
- Energia elétrica. Nas instalações industriais, a potência ativa é $P = S\cos\varphi$ e a reativa é $Q = S\operatorname{sen}\varphi$; a relação fundamental garante $S^2 = P^2 + Q^2$. O “fator de potência” que aparece na conta de luz das empresas é $\cos\varphi$.
- Direções no computador. Um programa representa uma direção pelo par $(\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)$; a relação $\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1$ garante que esse vetor tem comprimento 1.
Teoria
A relação fundamental
TeoremaRelação fundamental
Para todo $x$ real,
$$\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1.$$Ver a demonstração
a) Se $x \ne \dfrac{k\pi}{2}$, a imagem $P$ de $x$ é distinta de $A$, $B$, $A'$ e $B'$; então existe o triângulo $OP_2P$, retângulo em $P_2$, com $|\overline{OP_2}| = |\cos x|$, $|\overline{P_2P}| = |\operatorname{sen} x|$ e hipotenusa $|\overline{OP}| = 1$. Pelo teorema de Pitágoras,
$$|\overline{OP_2}|^2 + |\overline{P_2P}|^2 = |\overline{OP}|^2 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1.$$b) Se $x = \dfrac{k\pi}{2}$, verificamos diretamente:
| $x$ | $\operatorname{sen} x$ | $\cos x$ | $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $\pi$ | $0$ | $-1$ | $1$ |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
Tangente e cotangente
TeoremaTangente
Para todo $x$ real, $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$,
$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.$$Ver a demonstração
a) Se $x \ne k\pi$, a imagem de $x$ é distinta de $A$, $B$, $A'$ e $B'$, e os triângulos $OAT$ e $OP_2P$ são semelhantes (ambos retângulos, com o ângulo em $O$ comum ou oposto pelo vértice). Logo
$$\frac{|\overline{AT}|}{|\overline{OA}|} = \frac{|\overline{P_2P}|}{|\overline{OP_2}|} \quad\Longrightarrow\quad |\operatorname{tg} x| = \frac{|\operatorname{sen} x|}{|\cos x|}. \qquad (1)$$Pelo quadro de sinais, o sinal de $\operatorname{tg} x$ é igual ao do quociente $\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$ (2):
| quadrante | sinal de $\operatorname{tg} x$ | sinal de $\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$ |
|---|---|---|
| 1º | $+$ | $+$ |
| 2º | $-$ | $-$ |
| 3º | $+$ | $+$ |
| 4º | $-$ | $-$ |
De (1) e (2) decorre a tese.
b) Se $x = k\pi$, temos $\operatorname{tg} x = 0 = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$.
TeoremaCotangente
Para todo $x$ real, $x \ne k\pi$,
$$\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.$$Ver a demonstração
a) Se $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, a imagem de $x$ é distinta de $A$, $B$, $A'$ e $B'$, e os triângulos $OBD$ e $OP_1P$ são semelhantes:
$$\frac{|\overline{BD}|}{|\overline{OB}|} = \frac{|\overline{P_1P}|}{|\overline{OP_1}|} \quad\Longrightarrow\quad |\operatorname{cotg} x| = \frac{|\cos x|}{|\operatorname{sen} x|}. \qquad (1)$$O sinal de $\operatorname{cotg} x$ é igual ao de $\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}$ em todos os quadrantes ($+$, $-$, $+$, $-$) (2). De (1) e (2) decorre a tese.
b) Se $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, temos $\operatorname{cotg} x = 0 = \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}$.
Secante e cossecante
TeoremaSecante
Para todo $x$ real, $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$,
$$\sec x = \frac{1}{\cos x}.$$Ver a demonstração
a) Se $x \ne k\pi$, os triângulos $OPS$ (retângulo em $P$) e $OP_2P$ (retângulo em $P_2$) são semelhantes, pois têm o ângulo em $O$ comum:
$$\frac{|\overline{OS}|}{|\overline{OP}|} = \frac{|\overline{OP}|}{|\overline{OP_2}|} \quad\Longrightarrow\quad |\sec x| = \frac{1}{|\cos x|}. \qquad (1)$$O sinal de $\sec x$ é igual ao de $\cos x$ ($+$ no 1º e 4º quadrantes, $-$ no 2º e 3º) (2). De (1) e (2) decorre a tese.
b) Se $x = k\pi$, temos $\sec x = 1 = \cos x$ ($k$ par) ou $\sec x = -1 = \cos x$ ($k$ ímpar), e em ambos os casos $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
TeoremaCossecante
Para todo $x$ real, $x \ne k\pi$,
$$\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}.$$Ver a demonstração
a) Se $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, os triângulos $OPC$ e $OP_1P$ são semelhantes:
$$\frac{|\overline{OC}|}{|\overline{OP}|} = \frac{|\overline{OP}|}{|\overline{OP_1}|} \quad\Longrightarrow\quad |\operatorname{cossec} x| = \frac{1}{|\operatorname{sen} x|}. \qquad (1)$$O sinal de $\operatorname{cossec} x$ é igual ao de $\operatorname{sen} x$ ($+$ no 1º e 2º quadrantes, $-$ no 3º e 4º) (2). De (1) e (2) decorre a tese.
b) Se $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$: $\operatorname{cossec} x = 1 = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}$ ($k$ par) ou $\operatorname{cossec} x = -1 = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}$ ($k$ ímpar).
Consequências
CorolárioRelações derivadas
Para todo $x$ real, $x \ne \dfrac{k\pi}{2}$, valem:
$$\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} \qquad \operatorname{tg}^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad 1 + \operatorname{cotg}^2 x = \operatorname{cossec}^2 x$$$$\cos^2 x = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 x} \qquad \operatorname{sen}^2 x = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x}$$Ver a demonstração
ExemploTodas a partir de uma
Sabendo que $\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$ e que $x$ está no 2º quadrante, o cosseno é negativo:
$$\cos x = -\sqrt{1 - \tfrac{16}{25}} = -\tfrac{3}{5}, \quad \operatorname{tg} x = -\tfrac{4}{3}, \quad \operatorname{cotg} x = -\tfrac{3}{4}, \quad \sec x = -\tfrac{5}{3}, \quad \operatorname{cossec} x = \tfrac{5}{4}.$$A relação fundamental dá o módulo; o quadrante dá o sinal. Esse é o exercício 73 da lista do capítulo.
Para ir além: os cossenos diretores
A relação fundamental tem uma versão no espaço. Um vetor $\vec u = (x, y, z)$ de comprimento $|\vec u| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ forma ângulos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ com os eixos $x$, $y$ e $z$. Projetando $\vec u$ em cada eixo, como projetamos o ponto do ciclo nos eixos dos cossenos e dos senos,
$$\cos\alpha = \frac{x}{|\vec u|}, \qquad \cos\beta = \frac{y}{|\vec u|}, \qquad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec u|},$$e somando os quadrados:
$$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1.$$No plano ($z = 0$, $\gamma = 90^\circ$) os ângulos com os eixos são complementares, $\beta = 90^\circ - \alpha$, e a igualdade vira $\cos^2\alpha + \operatorname{sen}^2\alpha = 1$. Por exemplo, para $\vec u = (1, 2, 2)$, com $|\vec u| = 3$: $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = 1$.