Este capítulo seguiu o sinal de igual desde uma linha de conta até uma prova inteira. Os roteiros abaixo juntam as perguntas que ajudam a ler os dois.

Cinco perguntas para um sinal de igual

  1. Ele pergunta, afirma ou batiza? Se pergunta, é uma equação, e a tarefa é achar as soluções. Se afirma para todos os valores, é uma identidade, e a tarefa é prová-la. Se batiza, é uma definição, e a tarefa é aceitá-la e lembrar dela.
  2. Os dois lados têm o mesmo sentido ou só a mesma referência? Se o sentido é o mesmo, a igualdade é vazia. Se é diferente, ela ensina alguma coisa, e vale perguntar o quê.
  3. É igualdade de verdade ou equivalência? $\frac12=\frac24$ é uma igualdade entre números, mas uma equivalência entre frações. $17\equiv2\pmod5$ diz que dois números diferentes caem na mesma gaveta.
  4. Posso trocar um lado pelo outro aqui? Dentro de uma conta, sempre. Dentro de uma frase sobre o que alguém sabe ou escreveu, nem sempre.
  5. As três leis valem? Se a relação não é simétrica ($:=$, o $=$ do $O$ grande) ou não é transitiva ($\approx$), ela não é um igual de verdade, e as correntes $A=B=C$ deixam de funcionar.

Cinco perguntas para uma prova

  1. O que exatamente está sendo afirmado? Encontre o enunciado e as suas letras: quais são quaisquer, quais são dadas.
  2. Onde está o “seja”? É ali que o geral vira particular. Confira que nada foi suposto sobre o caso particular além do que o enunciado dá.
  3. Que tipo de seta liga as linhas? Uma corrente de $=$ e $\Leftrightarrow$ pode ser lida nos dois sentidos. Uma corrente de $\Rightarrow$ só vale do começo para o fim.
  4. Onde abre e onde fecha cada hipótese? Toda vez que aparece “suponha”, procure onde ela termina. As letras introduzidas lá dentro não existem lá fora.
  5. O que foi omitido? Cada “é fácil ver”, cada reticência, cada “analogamente” é um passo que o leitor deve conseguir preencher.

A leitura completa de uma prova curta

Afirmação. Para todo inteiro $n$, o número $n^3-n$ é divisível por $6$.

Prova. Seja $n$ um inteiro. Então $n^3-n=(n-1)\,n\,(n+1)$, o produto de três inteiros consecutivos. Entre três consecutivos, um é múltiplo de $3$ e pelo menos um é par. Logo o produto é múltiplo de $2$ e de $3$, e portanto de $6$. $\blacksquare$

  1. O enunciado fala de todo inteiro: o $n$ é um número generalizado.
  2. “Seja $n$ um inteiro” é a exposição de Euclides. Nada se supõe sobre $n$ além de ser inteiro.
  3. $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ é uma identidade, provada pela cadeia $(n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=n^3-n$. O igual aqui troca uma escrita por outra de sentido mais útil: a fatorada mostra os três consecutivos, a original não.
  4. “Entre três consecutivos, um é múltiplo de 3” é um fato invocado sem prova. Por trás dele há uma equivalência: módulo $3$, os três consecutivos caem nas gavetas $0$, $1$ e $2$, uma de cada.
  5. “Logo… portanto” marca dois passos de $\Rightarrow$. O segundo usa que $2$ e $3$ não têm divisor comum, um fato também omitido.
  6. O $\blacksquare$ fecha a prova e devolve o leitor ao enunciado geral.

Glossário

  • Igualdade. Relação entre duas expressões que apontam para o mesmo objeto. Reflexiva, simétrica e transitiva.
  • Sentido e referência. A referência de uma expressão é o objeto que ela designa; o sentido é o modo como ela o apresenta. $2^{10}$ e $1024$ têm a mesma referência e sentidos diferentes.
  • Equação. Igualdade com letras que se lê como pergunta: para que valores é verdadeira? O seu conjunto de soluções é a resposta.
  • Identidade. Igualdade verdadeira para todos os valores das letras. Às vezes escrita com $\equiv$.
  • Definição. Igualdade que dá nome a uma expressão. Às vezes escrita com $:=$.
  • Relação de equivalência. Relação reflexiva, simétrica e transitiva. Divide os objetos em classes de equivalência.
  • Congruência. $a\equiv b\pmod m$ quando $m$ divide $a-b$. A relação de equivalência dos restos, introduzida por Gauss em 1801.
  • Implicação. $P\Rightarrow Q$: sempre que $P$ é verdadeira, $Q$ também é.
  • Equivalência lógica. $P\Leftrightarrow Q$: $P$ e $Q$ são verdadeiras exatamente nos mesmos casos. Lê-se “se e somente se”, abreviado sse.
  • Raiz estranha. Solução que aparece no fim de uma resolução mas não satisfaz a equação original, introduzida por um passo $\Rightarrow$ que não é $\Leftrightarrow$.
  • Prova calculacional. Corrente de igualdades em que cada elo carrega a sua justificativa.
  • Prova por absurdo. Prova que supõe o contrário do que se quer e chega a uma contradição.
  • Indução matemática. Prova em duas peças, base e passo, de que uma afirmação vale para todos os números naturais.
  • Contraexemplo. Um único caso em que uma afirmação geral falha. Basta um para refutá-la.
  • Q.E.D. e $\blacksquare$. Marcas de fim de prova: quod erat demonstrandum e a lápide de Halmos.
Exercício: aplique o roteiro do igual

Leia $\displaystyle\cos2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x$. Ela afirma para todo $x$: é uma identidade. Os dois lados têm a mesma referência para cada $x$, mas sentidos diferentes: o da esquerda fala do ângulo dobrado, o da direita, do ângulo simples. Lida como equação, a pergunta “para que $x$ vale?” teria como resposta “todos”. Se alguém escrever $\cos2x=1$, aí sim há uma pergunta, com resposta $x=k\pi$, para $k$ inteiro.

Exercício: aplique o roteiro da prova

Ache o passo omitido: “Se $n^2$ é par, então $n$ é par. Prova: se $n$ fosse ímpar, $n=2k+1$, e $n^2=4k^2+4k+1$ seria ímpar. $\blacksquare$”

A prova abre uma hipótese (“se $n$ fosse ímpar”), mostra que ela leva a $n^2$ ímpar e para aí. O passo omitido é o fechamento: “isso contradiz $n^2$ par; logo $n$ não é ímpar, e portanto é par”. A prova também usa, sem dizer, que todo inteiro é par ou ímpar.

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