Na Mega-Sena, você escolhe 6 números entre 60. Quantos jogos diferentes existem? Listar todos levaria uma vida: são mais de cinquenta milhões. Mas dá para contar sem listar, e Pascal mostrou como.

Escolher sem ordem

Comece com um caso pequeno: de quantas maneiras se pode escolher 2 pessoas num grupo de 5 para uma comissão?

Se a ordem importasse, haveria $5$ opções para a primeira pessoa e $4$ para a segunda: $5\cdot4=20$. Mas numa comissão “Ana e Bruno” é o mesmo que “Bruno e Ana”, e cada par foi contado duas vezes. São $20/2=10$ comissões.

Em geral, o número de maneiras de escolher $k$ coisas entre $n$, sem importar a ordem, é

$$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$

em que $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$. Lê-se “combinação de $n$, $k$ a $k$”. Para a comissão, $\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$.

Por que são os números do triângulo

Pascal percebeu que $\binom nk$ é exatamente o número $C(n,k)$ do triângulo aritmético. O motivo é a mesma regra de soma.

Escolha uma pessoa do grupo, digamos Ana. Toda comissão de $k$ pessoas entre $n$ ou tem Ana, ou não tem. Se tem, faltam escolher $k-1$ pessoas entre as outras $n-1$. Se não tem, as $k$ pessoas saem todas das outras $n-1$. Então

$$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$

que é a regra do triângulo. Como os dois começam com os mesmos $1$ nas bordas e obedecem à mesma regra, são a mesma tabela.

A Mega-Sena

Agora a conta grande fica fácil:

$$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$

Uma aposta simples tem uma chance em pouco mais de cinquenta milhões. Se você jogasse um cartão por semana, esperaria, em média, quase um milhão de anos para acertar.

A potência de uma soma

O mesmo raciocínio explica outra aparição do triângulo. Ao multiplicar

$$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b),$$

cada termo do resultado escolhe $a$ ou $b$ de cada um dos três parênteses. Para obter $a^2b$, é preciso escolher $b$ em exatamente um dos três: há $\binom31=3$ maneiras. Por isso

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$

e, em geral,

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$

Tomando $a=b=1$, o lado esquerdo vira $2^n$: é de novo a soma da linha $n$. Essa fórmula vale para expoentes inteiros. Newton, dez anos depois, descobriu o que acontece com expoentes fracionários: veja o binômio generalizado.

O andar do bêbado

Um homem sai do bar e tenta voltar para casa. A cada passo, ele vai para a frente ($F$) ou para trás ($T$), com a mesma chance. Depois de dois passos, os caminhos possíveis são

$$FF,\quad FT,\quad TF,\quad TT.$$

Em dois dos quatro ele voltou ao ponto de partida. Com três passos, os caminhos são oito: $FFF$, três com dois $F$, três com um $F$ e $TTT$. Repare que a contagem é a expansão do binômio:

$$(F+T)^2=F^2+2FT+T^2,\qquad (F+T)^3=F^3+3F^2T+3FT^2+T^3.$$

Depois de $n$ passos, há $2^n$ caminhos, e a chance de ter dado exatamente $k$ passos para a frente é

$$\frac{1}{2^n}\binom nk.$$

É a fonte de taças do post anterior, com passos no lugar da água. Esse modelo, o passeio aleatório, descreve hoje o movimento de moléculas num gás, o preço de ações e a difusão de um perfume numa sala.

A primeira prova por indução

No tratado, Pascal quis provar uma propriedade para todas as linhas do triângulo: dois números vizinhos de uma mesma linha estão na razão

$$\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}=\frac{n-k}{k+1}.$$

Ele não podia verificar infinitas linhas. Então argumentou em dois passos: primeiro, a propriedade vale na primeira linha; segundo, se ela vale numa linha, então vale na seguinte. Logo vale em todas.

Esse argumento é a indução matemática. Ideias parecidas já apareciam antes, mas o tratado de Pascal é considerado a primeira vez em que ela foi enunciada com clareza, como um método.

Com essa razão, cada número de uma linha sai do anterior com uma multiplicação, sem construir o triângulo inteiro. Na linha 5: $1$, depois $1\cdot\frac51=5$, depois $5\cdot\frac42=10$, depois $10\cdot\frac33=10$.

Exercício: qual é o coeficiente de a²b² em (a + b)⁴?

É preciso escolher as duas posições de $b$ entre os quatro parênteses: $\binom42=6$. De fato, $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Exercício: depois de 4 passos, qual é a chance de o bêbado estar onde começou?

Ele precisa de 2 passos para a frente e 2 para trás. A chance é $\dfrac{1}{2^4}\binom42=\dfrac{6}{16}=\dfrac38$, ou 37,5%.

Fontes: biografia de Pascal, MacTutor · cartas de Pascal e Fermat, em tradução inglesa.

Todos os tópicos de Pascal · ← O triângulo de Pascal: somar para construir · Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa →

Créditos das imagens.