Hoje, para muitos estudantes, o logaritmo é um bicho-papão: uma palavra estranha, um $\log$ que aparece do nada e regras para decorar. No século XVII ele era o contrário disso. Era a calculadora da Europa, a ferramenta que poupava meses de trabalho a astrônomos, navegadores e contadores. Os antigos textos deste site diziam que o logaritmo era o exemplo mais puro de mirabilis abbreviatio, a abreviação maravilhosa. E o próprio inventor concordava: o título do seu livro começa com a palavra maravilhoso.

Duas fileiras de números

A ideia já estava escondida em duas fileiras de números que qualquer pessoa pode escrever:

$$\begin{array}{c|cccccccccc} \text{potências de 2} & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512\\ \hline \text{expoentes} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array}$$

Escolha dois números de cima, por exemplo $8$ e $64$. Olhe os números de baixo: $3$ e $6$. Some: $3+6=9$. Agora volte para cima, na coluna do $9$: $512$. E, de fato, $8\times64=512$. Uma multiplicação em cima virou uma soma embaixo. O alemão Michael Stifel já tinha notado isso em 1544, no livro Arithmetica integra. Divisões viram subtrações; raízes viram divisões por $2$.

O problema é que a tabela de Stifel só tem buracos: entre $8$ e $16$, ou entre $64$ e $128$, não há nada. Para que o truque funcionasse com qualquer número, como $3{,}1416\times2{,}7183$, era preciso preencher a tabela com fileiras muito mais finas.

Vinte anos de contas

Foi o que fez John Napier, barão de Merchiston, um nobre escocês que também escrevia sobre teologia e inventava máquinas de guerra. Durante cerca de vinte anos, ele calculou à mão uma tabela com passos tão pequenos que quase qualquer número aparecia nela. Em 1614 publicou o resultado em latim: Mirifici logarithmorum canonis descriptio, a “descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos”. Cânone, do grego kanṓn, a régua, era o nome que se dava a uma tabela de referência.

A palavra logaritmo foi inventada por ele, juntando duas palavras gregas: lógos, que aqui quer dizer razão, proporção, e arithmós, número. O logaritmo é o “número da razão”: ele conta quantas vezes uma razão fixa foi aplicada para chegar a um valor. Em $8=2\cdot2\cdot2$, a razão $2$ foi aplicada três vezes, e o logaritmo de $8$ na base $2$ é $3$.

Ao encurtar o trabalho, os logaritmos dobraram a vida dos astrônomos.

— Frase atribuída a Pierre-Simon Laplace

O sucesso foi imediato. Em 1615, o professor inglês Henry Briggs viajou até a Escócia para conhecer Napier, e os dois combinaram usar a base $10$, mais prática para o sistema decimal. Briggs publicou as tábuas em 1617 e 1624. Johannes Kepler, que calculava as órbitas dos planetas, adotou os logaritmos com entusiasmo e publicou as suas próprias tábuas em 1624. Por volta de 1622, William Oughtred, o do sinal $\times$, colocou duas escalas logarítmicas lado a lado e inventou a régua de cálculo, que os engenheiros usaram até os anos 1970.

De logarithmus a log

Como o radix quadrati, o logaritmo também começou como uma frase. A sequência abaixo é esquemática, reconstruída nos antigos textos deste site para mostrar o caminho da abreviação:

Como a frase virou log₂ 8 = 3 (clique para avançar)

  1. logarithmus arithmorum 8 aequalis 3, basis 2: “o logaritmo do número 8 é igual a 3, na base 2”.
  2. log. arith. 8 aeq. 3, bas. 2: as palavras repetidas encolhem.
  3. Log. 8 = 3: Kepler já escrevia a abreviação Log. nas suas tábuas de 1624. A base ficava subentendida, porque cada tábua tinha a sua.
  4. $\log_2 8=3$: a base desce para um pequeno índice, ao pé do $\log$. A informação que estava escondida no título da tábua volta para dentro da escrita.

O último passo é o mais importante do ponto de vista semiótico. Com a base escrita, a frase “$2$ elevado a $3$ dá $8$” e a frase “o logaritmo de $8$ na base $2$ é $3$” ficam visivelmente ligadas:

$$2^3=8\iff \log_2 8=3.$$

Os mesmos três números, a mesma relação, lida em dois sentidos. O $\log_b$ é o desfazer do “elevar $b$ a”: $\log_b\left(b^n\right)=n$. Os antigos textos deste site levavam a ideia ao extremo e escreviam a base já em forma de potência, como $\log_{2^6}64$, para que a resposta, $6$, ficasse à vista. É um truque didático, não uma notação oficial, mas mostra bem o que se quer de uma notação ativa: que a resposta esteja desenhada na pergunta.

As regras que a escrita entrega

Com a notação $\log$, as propriedades que Napier e Briggs usavam nas suas tábuas se escrevem em uma linha cada:

$$\log_b(A\cdot B)=\log_b A+\log_b B,\qquad \log_b\frac AB=\log_b A-\log_b B,\qquad \log_b A^n=n\log_b A.$$

Elas não precisam ser decoradas, porque vêm direto das duas fileiras de Stifel. Na base $2$: $\log_2(4\cdot16)=\log_2 4+\log_2 16=2+4=6$, e de fato $4\cdot16=64=2^6$. Multiplicar potências é somar expoentes, e o logaritmo é o expoente. A notação só põe isso por escrito.

Uma escrita que sobreviveu à calculadora

Desde os anos 1970, ninguém mais multiplica com tábuas de logaritmos. Mas o $\log$ não desapareceu, e isso diz muito sobre ele. A notação continua ativa porque as relações que ela desenha continuam úteis: a escala Richter dos terremotos, o pH da química e os decibéis do som são escalas logarítmicas, em que somar $1$ significa multiplicar por $10$. Em 1748, Euler mostrou que o logaritmo mais natural de todos tem como base um número que ele chamou de $e$, e o $\ln$ entrou no cálculo de Leibniz como se sempre tivesse estado lá. A calculadora morreu; a abreviação maravilhosa ficou.

Exercício: multiplique como Napier

Use a tabela das potências de $2$ para calcular $16\times32$. Embaixo de $16$ está $4$; embaixo de $32$ está $5$. Somando: $4+5=9$. Na coluna do $9$, em cima, está $512$. Logo $16\times32=512$. Para dividir $512$ por $8$: $9-3=6$, e em cima do $6$ está $64$.

Exercício: deixe a resposta à vista

Calcule $\log_3(81\cdot27)$. Escrevendo cada número como potência da base: $81=3^4$ e $27=3^3$. Então

$$\log_3(81\cdot27)=\log_3 3^4+\log_3 3^3=4+3=7,$$

e, de fato, $81\cdot27=2187=3^7$. É o truque dos antigos textos do site: quando a base aparece como potência, o logaritmo se lê sem fazer conta.

Fontes: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1928–1929) · John Napier, MacTutor · Henry Briggs, MacTutor · para o número $e$ e os juros compostos, veja o capítulo sobre Euler.

Índice do capítulo · ← +, −, × e =: a pequena história dos sinais · Leibniz contra os pontos: notação ativa e notação estéril →