Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo (1ª aplicação).

A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2021 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 151 a 165. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
151 Desempenho de combustível (km/L) D
152 Áreas de um paralelepípedo B
153 Volume do cilindro D
154 Gráfico de função definida por partes A
155 Função quadrática com domínio inteiro E
156 Matrizes: leitura dos elementos E
157 Variações percentuais sucessivas B
158 Grandezas inversamente proporcionais A
159 Otimização: menor custo D
160 Porcentagem: redução da quantidade C
161 Função trigonométrica: movimento da mola A
162 Operações definidas e equação do 2º grau E
163 Escala C
164 Projeção e razão por mil habitantes D
165 Leitura de gráfico: lucro mensal B

Questão 151: Desempenho do novo motor

Enunciado

Um automóvel apresenta um desempenho médio de 16 km/L. Um engenheiro desenvolveu um novo motor a combustão que economiza, em relação ao consumo do motor anterior, 0,1 L de combustível a cada 20 km percorridos.

O valor do desempenho médio do automóvel com o novo motor, em quilômetro por litro, expresso com uma casa decimal, é

  • A) 15,9.
  • B) 16,1.
  • C) 16,4.
  • D) 17,4.
  • E) 18,0.

Resolução

1. Consumo antigo em 20 km. Com 16 km/L, para rodar 20 km o motor antigo gasta

$$\frac{20}{16} = 1{,}25 \text{ L}$$

2. Consumo novo em 20 km. O novo motor economiza 0,1 L nesse trecho:

$$1{,}25 - 0{,}1 = 1{,}15 \text{ L}$$

3. Novo desempenho (quilômetros por litro):

$$\frac{20}{1{,}15} \approx 17{,}39 \approx 17{,}4 \text{ km/L}$$

Resposta: alternativa D (17,4 km/L).

Cuidado com a pegadinha: o motor novo gasta menos combustível, então o desempenho (km/L) tem que aumentar. Isso já elimina a alternativa A.

Para revisar, veja Taxas.

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Questão 152: Tinta para o contêiner com dimensões dobradas

Enunciado

O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo reto retangular, previa a pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas necessárias, mas, antes de iniciar a obra, resolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a largura para o dobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas quantidades de tinta necessárias.

Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas pelos fornecedores foram as seguintes:

  • Fornecedor I: “O dobro, tanto para as paredes quanto para o piso.”
  • Fornecedor II: “O dobro para as paredes e quatro vezes para o piso.”
  • Fornecedor III: “Quatro vezes, tanto para as paredes quanto para o piso.”
  • Fornecedor IV: “Quatro vezes para as paredes e o dobro para o piso.”
  • Fornecedor V: “Oito vezes para as paredes e quatro vezes para o piso.”

Analisando as informações dos fornecedores, o construtor providenciará a quantidade adequada de material. Considere a porta de acesso do contêiner como parte de uma das paredes.

Qual dos fornecedores prestou as informações adequadas, devendo ser o escolhido pelo construtor para a aquisição do material?

  • A) I
  • B) II
  • C) III
  • D) IV
  • E) V

Resolução

A quantidade de tinta é proporcional à área pintada. Sejam $c$, $\ell$ e $h$ o comprimento, a largura e a altura originais.

1. Paredes. As quatro paredes são dois retângulos $c \times h$ e dois $\ell \times h$ (e cada uma é pintada dos dois lados, o que só multiplica tudo por 2):

$$A_{\text{paredes}} = 2 \cdot (2ch + 2\ell h) = 4h(c + \ell)$$

Com $c$ e $\ell$ dobrados e $h$ igual:

$$4h(2c + 2\ell) = 2 \cdot 4h(c + \ell)$$

A área das paredes dobra.

2. Piso. A área é $c \cdot \ell$. Com as duas medidas dobradas:

$$(2c)(2\ell) = 4c\ell$$

A área do piso fica quatro vezes maior.

Resposta: alternativa B (Fornecedor II).

Cuidado com a pegadinha: “dobrou as medidas, dobra tudo” (Fornecedor I) está errado. A área do piso depende de duas medidas que dobraram, então multiplica por $2 \cdot 2 = 4$. Já nas paredes só uma das duas medidas de cada retângulo dobrou (a altura ficou igual), por isso elas só dobram.

Para revisar, veja Proporções e Geometria.

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Questão 153: Altura do reservatório cilíndrico

Enunciado

Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro circular reto, cuja base tenha 5 metros de diâmetro interno, e atender à demanda de água da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa.

Considere que o consumo médio diário por habitante é de 120 litros de água. Use 3 como aproximação para $\pi$.

Nas condições apresentadas, o reservatório deverá ser construído com uma altura interna mínima, em metro, igual a

  • A) 1,12.
  • B) 3,10.
  • C) 4,35.
  • D) 4,48.
  • E) 5,60.

Resolução

1. Volume necessário. 100 habitantes, 120 litros por dia cada, durante 7 dias:

$$100 \cdot 120 \cdot 7 = 84\thinspace 000 \text{ L} = 84 \text{ m}^3$$

(lembrando que 1 m³ = 1 000 L).

2. Área da base. O diâmetro é 5 m, então o raio é 2,5 m:

$$A_{\text{base}} = \pi r^2 = 3 \cdot 2{,}5^2 = 3 \cdot 6{,}25 = 18{,}75 \text{ m}^2$$

3. Altura. O volume do cilindro é área da base × altura:

$$18{,}75 \cdot h = 84 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{84}{18{,}75} = 4{,}48 \text{ m}$$

Resposta: alternativa D (4,48 m).

Cuidado com a pegadinha: usar o diâmetro (5 m) como se fosse o raio dá área $3 \cdot 25 = 75$ m² e altura $\frac{84}{75} = 1{,}12$ m (alternativa A).

Para revisar, veja Área do Círculo.

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Questão 154: Gráfico do imposto devido

Enunciado

O quadro representa a relação entre o preço de um produto ($R$) e seu respectivo imposto devido ($I$).

Preço do produto ($R$) Imposto devido ($I$)
$R \le 5\thinspace 000$ isento
$5\thinspace 000 < R \le 10\thinspace 000$ 10% de $(R - 5\thinspace 000)$
$10\thinspace 000 < R \le 15\thinspace 000$ $500 + 30\%$ de $(R - 10\thinspace 000)$

O gráfico que melhor representa essa relação é

Resolução

Vamos calcular o imposto nos pontos em que a regra muda.

1. Até 5 000: isento, então $I = 0$. O gráfico começa com um segmento horizontal sobre o eixo, de 0 a 5 000.

2. De 5 000 a 10 000: $I = 0{,}1 \cdot (R - 5\thinspace 000)$, uma função afim.

  • em $R = 5\thinspace 000$: $I = 0$ (o gráfico não salta);
  • em $R = 10\thinspace 000$: $I = 0{,}1 \cdot 5\thinspace 000 = 500$.

É um segmento de reta de $(5\thinspace 000;\ 0)$ até $(10\thinspace 000;\ 500)$.

3. De 10 000 a 15 000: $I = 500 + 0{,}3 \cdot (R - 10\thinspace 000)$.

  • logo depois de 10 000, o imposto está perto de 500 (de novo sem salto);
  • em $R = 15\thinspace 000$: $I = 500 + 0{,}3 \cdot 5\thinspace 000 = 500 + 1\thinspace 500 = 2\thinspace 000$.

É um segmento de $(10\thinspace 000;\ 500)$ até $(15\thinspace 000;\ 2\thinspace 000)$, mais inclinado que o anterior (taxa de 30% contra 10%).

4. Comparar com os gráficos. O único que passa por $(5\thinspace 000;\ 0)$, $(10\thinspace 000;\ 500)$ e $(15\thinspace 000;\ 2\thinspace 000)$, sem saltos, é o da alternativa A.

Resposta: alternativa A.

Cuidado com a pegadinha: o gráfico B termina em 1 000, que é o que se obtém aplicando 10% também na última faixa. O gráfico D tem “degraus”, como se o imposto fosse constante em cada faixa.

Para revisar, veja Funções de Primeiro Grau.

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Questão 155: Arrecadação do teatro em função do desconto

Enunciado

O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$ 20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.

O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é

Resolução

1. Montar a função. Com um desconto de $x$ reais:

  • preço do ingresso: $20 - x$;
  • público: $200 + 40x$.

A arrecadação é preço × público:

$$A(x) = (20 - x)(200 + 40x)$$

2. Que tipo de função é essa? Multiplicando:

$$A(x) = 4\thinspace 000 + 800x - 200x - 40x^2 = -40x^2 + 600x + 4\thinspace 000$$

É uma função do 2º grau com coeficiente de $x^2$ negativo: o gráfico é uma parábola com a concavidade para baixo. Isso elimina A, B e C (que são retas ou pontos alinhados).

3. Alguns valores:

  • $A(0) = 20 \cdot 200 = 4\thinspace 000$ (o gráfico começa em 4 000);
  • as raízes são $x = 20$ e $x = -5$, então o vértice está em $x = \frac{20 + (-5)}{2} = 7{,}5$;
  • $A(7) = 13 \cdot 480 = 6\thinspace 240$ e $A(8) = 12 \cdot 520 = 6\thinspace 240$ (máximo entre os inteiros);
  • $A(20) = 0$ (ingresso de graça).

4. Pontos ou curva? Os donos só aceitam preços inteiros, então o desconto $x$ só pode ser 0, 1, 2, …, 20. O gráfico é formado por pontos isolados sobre a parábola, não por uma curva contínua. É o gráfico E.

Resposta: alternativa E.

Cuidado com a pegadinha: o gráfico D tem o formato certo, mas é uma curva contínua, o que admitiria descontos como R$ 7,50. O enunciado avisa que só valem valores inteiros.

Para revisar, veja Equação do 2° grau.

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Questão 156: Região de destino do maior fluxo (matriz)

Enunciado

Uma construtora, pretendendo investir na construção de imóveis em uma metrópole com cinco grandes regiões, fez uma pesquisa sobre a quantidade de famílias que mudaram de uma região para outra, de modo a determinar qual região foi o destino do maior fluxo de famílias, sem levar em consideração o número de famílias que deixaram a região. Os valores da pesquisa estão dispostos em uma matriz $A = [a_{ij}]$, $i, j \in \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$, em que o elemento $a_{ij}$ corresponde ao total de famílias (em dezena) que se mudaram da região $i$ para a região $j$ durante um certo período, e o elemento $a_{ii}$ é considerado nulo, uma vez que somente são consideradas mudanças entre regiões distintas. A seguir, está apresentada a matriz com os dados da pesquisa.

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$

Qual região foi selecionada para o investimento da construtora?

  • A) 1
  • B) 2
  • C) 3
  • D) 4
  • E) 5

Resolução

1. Onde está o destino? No elemento $a_{ij}$, o índice $i$ (linha) é a região de origem e o índice $j$ (coluna) é a região de destino. Então todas as famílias que chegaram à região $j$ estão na coluna $j$.

2. Somar cada coluna:

Região de destino $j$ Soma da coluna Total
1 $0 + 0 + 2 + 1 + 1$ 4
2 $4 + 0 + 2 + 0 + 2$ 8
3 $2 + 6 + 0 + 2 + 0$ 10
4 $2 + 2 + 3 + 0 + 4$ 11
5 $5 + 3 + 0 + 4 + 0$ 12

A região 5 recebeu 12 dezenas de famílias (120 famílias), o maior fluxo de chegada.

Resposta: alternativa E (região 5).

Cuidado com a pegadinha: somar as linhas conta as famílias que saíram de cada região. A linha 1 tem a maior soma (13), e isso leva à alternativa A, justamente o que o enunciado manda não considerar.

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Questão 157: Consumo da aeronave B em relação à A

Enunciado

Para realizar um voo entre duas cidades que distam 2 000 km uma da outra, uma companhia aérea utilizava um modelo de aeronave A, capaz de transportar até 200 passageiros. Quando uma dessas aeronaves está lotada de passageiros, o consumo de combustível é de 0,02 litro por quilômetro e por passageiro. Essa companhia resolveu trocar o modelo de aeronave A pelo modelo de aeronave B, que é capaz de transportar 10% de passageiros a mais do que o modelo A, mas consumindo 10% menos combustível por quilômetro e por passageiro.

A quantidade de combustível consumida pelo modelo de aeronave B, em relação à do modelo de aeronave A, em um voo lotado entre as duas cidades, é

  • A) 10% menor.
  • B) 1% menor.
  • C) igual.
  • D) 1% maior.
  • E) 11% maior.

Resolução

O consumo total é

$$\text{consumo} = (\text{litros por km por passageiro}) \times (\text{passageiros}) \times (\text{km})$$

1. Aeronave A:

$$0{,}02 \cdot 200 \cdot 2\thinspace 000 = 8\thinspace 000 \text{ L}$$

2. Aeronave B. Passageiros: $200 \cdot 1{,}1 = 220$. Consumo por km e por passageiro: $0{,}02 \cdot 0{,}9 = 0{,}018$ L.

$$0{,}018 \cdot 220 \cdot 2\thinspace 000 = 7\thinspace 920 \text{ L}$$

3. Comparar:

$$\frac{7\thinspace 920}{8\thinspace 000} = 0{,}99$$

O consumo de B é 99% do de A, ou seja, 1% menor.

Mais rápido: os fatores multiplicam, $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$.

Resposta: alternativa B (1% menor).

Cuidado com a pegadinha: “+10% e −10% se cancelam” (alternativa C) está errado. Porcentagens sucessivas se multiplicam: $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$, não 1.

Para revisar, veja Aumentos e Descontos.

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Questão 158: Troca de pneus com um grupo reduzido

Enunciado

Em uma corrida automobilística, os carros podem fazer paradas nos boxes para efetuar trocas de pneus. Nessas trocas, o trabalho é feito por um grupo de três pessoas em cada pneu. Considere que os grupos iniciam o trabalho no mesmo instante, trabalham à mesma velocidade e cada grupo trabalha em um único pneu. Com os quatro grupos completos, são necessários 4 segundos para que a troca seja efetuada. O tempo gasto por um grupo para trocar um pneu é inversamente proporcional ao número de pessoas trabalhando nele. Em uma dessas paradas, um dos trabalhadores passou mal, não pôde participar da troca e nem foi substituído, de forma que um dos quatro grupos de troca ficou reduzido.

Nessa parada específica, com um dos grupos reduzido, qual foi o tempo gasto, em segundo, para trocar os quatro pneus?

  • A) 6,0
  • B) 5,7
  • C) 5,0
  • D) 4,5
  • E) 4,4

Resolução

1. Os grupos completos. Três grupos continuam com 3 pessoas e trocam seus pneus em 4 segundos.

2. O grupo reduzido. Ficou com 2 pessoas. Tempo e número de pessoas são inversamente proporcionais, então o produto (pessoas × tempo) é constante:

$$3 \cdot 4 = 2 \cdot t \quad\Rightarrow\quad t = 6 \text{ segundos}$$

3. Tempo total. Os quatro grupos começam juntos, e a troca só termina quando o último pneu estiver pronto. Isso acontece em 6 segundos.

Resposta: alternativa A (6,0 segundos).

Cuidado com a pegadinha: não é preciso fazer média entre os grupos. Os pneus são trocados ao mesmo tempo, e quem define o tempo total é o grupo mais lento.

Para revisar, veja Análise de Grandezas.

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Questão 159: Suplemento mais barato

Enunciado

Um nutricionista verificou, na dieta diária do seu cliente, a falta de 800 mg do mineral A, de 1 000 mg do mineral B e de 1 200 mg do mineral C. Por isso, recomendou a compra de suplementos alimentares que forneçam os minerais faltantes e informou que não haveria problema se consumisse mais desses minerais do que o recomendado.

O cliente encontrou cinco suplementos, vendidos em sachês unitários, cujos preços e as quantidades dos minerais estão apresentados a seguir:

  • Suplemento I: contém 50 mg do mineral A, 100 mg do mineral B e 200 mg do mineral C e custa R$ 2,00;
  • Suplemento II: contém 800 mg do mineral A, 250 mg do mineral B e 200 mg do mineral C e custa R$ 3,00;
  • Suplemento III: contém 250 mg do mineral A, 1 000 mg do mineral B e 300 mg do mineral C e custa R$ 5,00;
  • Suplemento IV: contém 600 mg do mineral A, 500 mg do mineral B e 1 000 mg do mineral C e custa R$ 6,00;
  • Suplemento V: contém 400 mg do mineral A, 800 mg do mineral B e 1 200 mg do mineral C e custa R$ 8,00.

O cliente decidiu comprar sachês de um único suplemento no qual gastasse menos dinheiro e ainda suprisse a falta de minerais indicada pelo nutricionista, mesmo que consumisse alguns deles além de sua necessidade.

Nessas condições, o cliente deverá comprar sachês do suplemento

  • A) I.
  • B) II.
  • C) III.
  • D) IV.
  • E) V.

Resolução

Para cada suplemento, calculamos quantos sachês são necessários para cobrir cada mineral (arredondando para cima, porque não se compra meio sachê). O número de sachês a comprar é o maior desses três valores, para que nenhum mineral fique faltando.

Suplemento Mineral A (800) Mineral B (1 000) Mineral C (1 200) Sachês Custo
I 800/50 = 16 1000/100 = 10 1200/200 = 6 16 16 · 2 = R$ 32,00
II 800/800 = 1 1000/250 = 4 1200/200 = 6 6 6 · 3 = R$ 18,00
III 800/250 = 3,2 → 4 1000/1000 = 1 1200/300 = 4 4 4 · 5 = R$ 20,00
IV 800/600 ≈ 1,3 → 2 1000/500 = 2 1200/1000 = 1,2 → 2 2 2 · 6 = R$ 12,00
V 800/400 = 2 1000/800 = 1,25 → 2 1200/1200 = 1 2 2 · 8 = R$ 16,00

O menor custo é R$ 12,00, com 2 sachês do suplemento IV.

Resposta: alternativa D (suplemento IV).

Cuidado com a pegadinha: o sachê mais barato (suplemento I, R$ 2,00) exige 16 unidades e sai o mais caro no total. O que importa é o custo total, não o preço de cada sachê.

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Questão 160: Redução percentual do frango

Enunciado

Um atleta produz sua própria refeição com custo fixo de R$ 10,00. Ela é composta por 400 g de frango, 600 g de batata-doce e uma hortaliça. Atualmente, os preços dos produtos para essa refeição são:

Frango (kg) Batata-doce (kg) Hortaliças (unidade)
Refeição R$ 12,50 R$ 5,00 R$ 2,00

Em relação a esses preços, haverá um aumento de 50% no preço do quilograma de batata-doce, e os outros preços não serão alterados. O atleta deseja manter o custo da refeição, a quantidade de batata-doce e a hortaliça. Portanto, terá que reduzir a quantidade de frango.

Qual deve ser a redução percentual da quantidade de frango para que o atleta alcance seu objetivo?

  • A) 12,5
  • B) 28,0
  • C) 30,0
  • D) 50,0
  • E) 70,0

Resolução

1. Custo atual (conferindo os R$ 10,00):

  • frango: $0{,}4 \cdot 12{,}50 = 5{,}00$;
  • batata-doce: $0{,}6 \cdot 5{,}00 = 3{,}00$;
  • hortaliça: $2{,}00$.

Total: R$ 10,00.

2. Novo preço da batata-doce: $5{,}00 \cdot 1{,}5 = 7{,}50$ por kg. Os 600 g passam a custar $0{,}6 \cdot 7{,}50 = 4{,}50$.

3. Quanto sobra para o frango:

$$10{,}00 - 4{,}50 - 2{,}00 = 3{,}50 \text{ reais}$$

Com o frango a R$ 12,50 o kg:

$$\frac{3{,}50}{12{,}50} = 0{,}28 \text{ kg} = 280 \text{ g}$$

4. Redução percentual. O frango passa de 400 g para 280 g, uma redução de 120 g:

$$\frac{120}{400} = 0{,}30 = 30\%$$

Resposta: alternativa C (30%).

Cuidado com a pegadinha: 70% (alternativa E) é quanto sobra de frango ($280/400$), não quanto foi reduzido. E 28 (alternativa B) vem de confundir a nova quantidade de frango, 0,28 kg, com a porcentagem pedida.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 161: Posição da massa presa à mola (função trigonométrica)

Enunciado

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição $P$ (em cm) da massa $m$ em função do tempo $t$ (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo $P(t) = \pm A \cos(\omega t)$ ou $P(t) = \pm A \operatorname{sen}(\omega t)$, em que $A > 0$ é a amplitude de deslocamento máximo e $\omega$ é a frequência, que se relaciona com o período $T$ pela fórmula $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.

A expressão algébrica que representa as posições $P(t)$ da massa $m$, ao longo do tempo, no gráfico, é

  • A) $-3\cos(2t)$
  • B) $-3\operatorname{sen}(2t)$
  • C) $3\cos(2t)$
  • D) $-6\cos(2t)$
  • E) $6\operatorname{sen}(2t)$

Resolução

1. Amplitude. O gráfico oscila entre $-3$ e $3$, então $A = 3$.

2. Período. O primeiro máximo está em $t = \frac{\pi}{2}$ e o seguinte em $t = \frac{3\pi}{2}$. A distância entre dois máximos seguidos é o período:

$$T = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$$

3. Seno ou cosseno, com qual sinal? Olhamos o ponto inicial: em $t = 0$ o gráfico está em $P = -3$ (a mola começa distendida, no ponto mais baixo).

  • $\operatorname{sen}(0) = 0$, então as expressões com seno dariam $P(0) = 0$: descartadas;
  • $\cos(0) = 1$, então $3\cos(2t)$ dá $P(0) = 3$ (errado) e $-3\cos(2t)$ dá $P(0) = -3$ (certo).

Conferindo outro ponto: $P\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\cos(\pi) = -3 \cdot (-1) = 3$, que é o máximo do gráfico.

Resposta: alternativa A ($P(t) = -3\cos(2t)$).

Cuidado com a pegadinha: a amplitude é a distância do centro (0) até o pico (3), não do ponto mais baixo ao mais alto ($3 - (-3) = 6$), que levaria às alternativas D e E.

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Questão 162: Mensagem entre navios (operações definidas)

Enunciado

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo $\Delta$ e estrela $\ast$, definidas sobre o conjunto dos números reais por $x \Delta y = x^2 + xy - y^2$ e $x \ast y = xy + x$.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada $b$, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a \Delta b) \ast (b \Delta a) = 0$. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada $b = 1$.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

  • A) $\sqrt{5}$
  • B) $\sqrt{3}$
  • C) $\sqrt{1}$
  • D) $\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
  • E) $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Resolução

A incógnita é $a$; o valor $b = 1$ está fixado.

1. Calcular as duas operações triângulo com $b = 1$:

$$u = a \Delta 1 = a^2 + a \cdot 1 - 1^2 = a^2 + a - 1$$$$v = 1 \Delta a = 1^2 + 1 \cdot a - a^2 = 1 + a - a^2$$

2. Aplicar a estrela. Pela definição, $u \ast v = uv + u = u(v + 1)$. A equação fica

$$u \cdot (v + 1) = 0$$

Um produto é zero quando um dos fatores é zero.

3. Caso $u = 0$:

$$a^2 + a - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

ou seja, $a \approx 0{,}618$ ou $a \approx -1{,}618$.

4. Caso $v + 1 = 0$:

$$2 + a - a^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a^2 - a - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (a - 2)(a + 1) = 0$$

ou seja, $a = 2$ ou $a = -1$.

5. As duas maiores soluções. As quatro soluções, em ordem: $-1{,}618$; $-1$; $0{,}618$; $2$. As duas maiores são $2$ e $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$:

$$2 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$

Resposta: alternativa E ($\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D é só uma das soluções. Também é fácil errar a ordem em $1 \Delta a$: aqui $x = 1$ e $y = a$, então o termo negativo é $-a^2$.

Para revisar, veja Bhãskara.

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Questão 163: Escala da réplica do castelo

Enunciado

Um parque temático brasileiro construiu uma réplica em miniatura do castelo de Liechtenstein. O castelo original, representado na imagem, está situado na Alemanha e foi reconstruído entre os anos de 1840 e 1842, após duas destruições causadas por guerras.

O castelo possui uma ponte de 38,4 m de comprimento e 1,68 m de largura. O artesão que trabalhou para o parque produziu a réplica do castelo, em escala. Nessa obra, as medidas do comprimento e da largura da ponte eram, respectivamente, 160 cm e 7 cm.

A escala utilizada para fazer a réplica é

  • A) 1 : 576
  • B) 1 : 240
  • C) 1 : 24
  • D) 1 : 4,2
  • E) 1 : 2,4

Resolução

A escala é a razão medida na réplica : medida real, com as duas medidas na mesma unidade.

1. Passar para centímetros: 38,4 m = 3 840 cm e 1,68 m = 168 cm.

2. Razão no comprimento:

$$\frac{160}{3\thinspace 840} = \frac{1}{24}$$

3. Conferindo na largura:

$$\frac{7}{168} = \frac{1}{24}$$

As duas razões são iguais, como deve ser numa réplica em escala.

Resposta: alternativa C (1 : 24).

Cuidado com a pegadinha: comparar sem converter as unidades ($\frac{160}{38{,}4}$ ou $\frac{7}{1{,}68}$) dá cerca de 4,2 e leva à alternativa D, que é uma escala de ampliação sem sentido aqui.

Para revisar, veja Proporções.

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Questão 164: Médicos por mil habitantes em 2020

Enunciado

A demografia médica é o estudo da população de médicos no Brasil nos aspectos quantitativo e qualitativo, sendo um dos seus objetivos fazer projeções sobre a necessidade da formação de novos médicos. Um desses estudos gerou um conjunto de dados que aborda a evolução do número de médicos e da população brasileira por várias décadas. O quadro apresenta parte desses dados.

Ano Médicos População brasileira (em milhar)
1990 219 000 147 000
2000 292 000 170 000
2010 365 000 191 000

Segundo uma projeção estatística, a variação do número de médicos e o da população brasileira de 2010 para 2020 será a média entre a variação de 1990 para 2000 e a de 2000 para 2010. Com o resultado dessa projeção, determina-se o número de médicos por mil habitantes no ano de 2020.

Disponível em: www.cremesp.org.br. Acesso em: 24 jun. 2015 (adaptado).

O número, com duas casas na parte decimal, mais próximo do número de médicos por mil habitantes no ano de 2020 seria de

  • A) 0,17.
  • B) 0,49.
  • C) 1,71.
  • D) 2,06.
  • E) 3,32.

Resolução

1. Médicos em 2020. As variações foram $292\thinspace 000 - 219\thinspace 000 = 73\thinspace 000$ e $365\thinspace 000 - 292\thinspace 000 = 73\thinspace 000$. A média é 73 000:

$$365\thinspace 000 + 73\thinspace 000 = 438\thinspace 000 \text{ médicos}$$

2. População em 2020 (em milhar). As variações foram $170\thinspace 000 - 147\thinspace 000 = 23\thinspace 000$ e $191\thinspace 000 - 170\thinspace 000 = 21\thinspace 000$. A média é

$$\frac{23\thinspace 000 + 21\thinspace 000}{2} = 22\thinspace 000$$$$191\thinspace 000 + 22\thinspace 000 = 213\thinspace 000 \text{ milhares de habitantes}$$

3. Médicos por mil habitantes. A população já está em milhares, então basta dividir:

$$\frac{438\thinspace 000}{213\thinspace 000} \approx 2{,}056 \approx 2{,}06$$

Resposta: alternativa D (2,06).

Cuidado com a pegadinha: a coluna da população está em milhar. Ela já conta “grupos de mil habitantes”, que é exatamente o que a pergunta pede.

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Questão 165: Mês de maior lucro

Enunciado

A receita $R$ de uma empresa ao final de um mês é o dinheiro captado com a venda de mercadorias ou com a prestação de serviços nesse mês, e a despesa $D$ é todo o dinheiro utilizado para pagamento de salários, contas de água e luz, impostos, entre outros. O lucro mensal obtido ao final do mês é a diferença entre a receita e a despesa registradas no mês. O gráfico apresenta as receitas e despesas, em milhão de real, de uma empresa ao final dos cinco primeiros meses de um dado ano.

A previsão para os próximos meses é que o lucro mensal não seja inferior ao maior lucro obtido até o mês de maio.

Nessas condições, o lucro mensal para os próximos meses deve ser maior ou igual ao do mês de

  • A) janeiro.
  • B) fevereiro.
  • C) março.
  • D) abril.
  • E) maio.

Resolução

O lucro de cada mês é a distância vertical entre a linha da receita (contínua) e a da despesa (tracejada). Lendo o gráfico, em milhões de reais:

Mês Receita Despesa Lucro
janeiro 10 5 5
fevereiro 20 10 10
março 15 10 5
abril 20 15 5
maio 28 25 3

O maior lucro foi o de fevereiro (10 milhões).

Resposta: alternativa B (fevereiro).

Cuidado com a pegadinha: maio tem a maior receita (28), mas também a maior despesa, e acaba sendo o mês de menor lucro. Lucro é a diferença, não a receita.

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