Em 1650, Pietro Mengoli perguntou quanto vale a soma dos inversos dos quadrados:

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$

Os Bernoulli tentaram e não conseguiram. A soma cresce devagar: com 10 termos dá $1{,}5498$, com 100 termos dá $1{,}6350$, com 1000 termos dá $1{,}6439$. Ninguém reconhecia o número para onde ela caminhava. Veja na figura: cada barra é a soma até $N$ termos.

As somas parciais sobem cada vez mais devagar em direção a π²/6. Mexa no controle ou teste um milhão de termos.

Em 1735, Euler usou uma ideia ousada. Um polinômio pode ser escrito a partir das suas raízes. Ele supôs que o mesmo valia para a função $\dfrac{\sin x}{x}$, que vale $1$ em $x = 0$ e se anula em $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$:

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$

A figura mostra a ideia funcionando. A curva azul é $\dfrac{\sin x}{x}$, com as raízes marcadas em vermelho. A curva dourada é o produto com só alguns parênteses: aumente o número de fatores e veja o produto colar na curva.

Quanto mais fatores, mais o produto de Euler se parece com sen(x)/x.

Se você multiplicar todos esses parênteses, o termo em $x^2$ será

$$-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots\right)x^2 = -\frac{x^2}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.$$

Por outro lado, a série de Taylor do seno dá

$$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\right) = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots$$

As duas expressões representam a mesma função, então os coeficientes de $x^2$ têm de ser iguais:

$$\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644934.$$

Ninguém esperava ver $\pi$, um número da geometria do círculo, numa soma de frações. O argumento de Euler não era rigoroso pelos padrões de hoje: escrever $\frac{\sin x}{x}$ como produto infinito só foi justificado um século depois, por Weierstrass. Mas o resultado estava certo, e Euler conferiu numericamente várias casas decimais. Com o mesmo método ele mostrou que $\sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.

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