Euler's Eyes
2026-10-11
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os une — o caminho mais curto entre eles.
Quem descobriu
A ideia é intuitiva e antiga; o que tem autor é o seu uso e a sua generalização. Por volta de 240 a.C., Eratóstenes de Cirene calculou a distância ao redor da Terra comparando sombras em Siena e Alexandria. Em 1906, o francês Maurice Fréchet percebeu que bastavam três propriedades — distância nunca negativa, simétrica e obedecendo à desigualdade triangular — para falar de “distância” entre quaisquer objetos. Em 1914, Felix Hausdorff chamou essa estrutura de espaço métrico.
A história
Eratóstenes, diretor da Biblioteca de Alexandria, sabia que em Siena, no dia mais longo do ano, o Sol do meio-dia iluminava o fundo dos poços. No mesmo dia, em Alexandria, um poste fazia sombra correspondente a 1/50 de uma volta completa. Como a distância entre as cidades era de cerca de 5 000 estádios, a volta da Terra mediria uns 250 000 estádios — um valor próximo do real, dependendo do tamanho do estádio que se adote.
A generalização de Fréchet mostrou que a geometria da distância vale muito além do plano. Hoje se mede a “distância” entre palavras, imagens e até sequências de DNA usando as mesmas três regras.
No dia a dia
- “Em linha reta” no mapa. Aplicativos mostram a distância em linha reta e, separadamente, a distância pelo caminho; a primeira é sempre menor ou igual.
- Apps de corrida. O relógio soma as distâncias entre pontos de GPS registrados a cada segundo.
- Distância do táxi. Numa cidade com quarteirões quadrados, o percurso real soma trechos horizontais e verticais — outra “distância” que obedece às regras de Fréchet.
- Corretor ortográfico. Sugere a palavra a menor “distância” (menos letras trocadas) daquela que você digitou.
Fontes: Eratóstenes (MacTutor) · Fréchet (MacTutor) · Hausdorff (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoDistância
Dados dois pontos distintos $A$ e $B$:
- a distância geométrica entre eles (indicada por $d_{A,B}$) é o segmento $\overline{AB}$ ou qualquer segmento congruente a ele;
- a distância métrica entre eles é a medida (o comprimento) do segmento $\overline{AB}$.
Se $A$ e $B$ coincidem, a distância geométrica é nula e a distância métrica é zero.