Medidas de Posição

As estatísticas descritivas são números que resumem e descrevem toda informação. Neste caso, o conjuntos de dados ou simplesmente dados. Mas. estas informações vão depender do que avaliamos, como população ou amostra, como dito no post anterior.

Noções iniciais

O tema central deste post apenas “descrevem” os dados. De forma que, elas não representam conclusões mais específicas da amostra em relação a população.

A técnica utilizada para estender conclusões da amostra para a população é a inferência estatística, tema esse que não faz sentido para crianças. Em um curso de graduação de estatística é o local mais adequado.

Medida de posição

Os valores da medida descrita, podem ser expressos por estatística. Desta forma, ao invés de chamarmos de valor medida de posição descritiva, chamaremos simplesmente de estatística descritiva de posição.

Definição (Medida de posição): são as estatísticas que representam uma série de dados e nos orienta quanto à posição da distribuição dos dados.

As medidas de posições mais importantes são:

média aritmética
mediana e
moda.

Média

A primeira medida de posição descrita é a média, muito usada em várias áreas do conhecimento. Por exemplo, os professores do ensino básico usam esta medida de posição para nota dos alunos.

Existem dois tipos de média:

Média populacional: é o cálculo do valor da posição para toda informação da população.
Média amostral: é o cálculo do valor da posição para toda informação da amostra.

Quando modelamos a população por uma distribuição de probabilidade. O valor da média populacional é chamada parâmetro.

Definição (Parâmetro): medida descritiva referente a uma população.

Exemplo: média populacional.

Definição (Estimador): medida descritiva referente a uma amostra.

Exemplo: média amostral.

Definição (Estimativa): valor da medida descritiva referente a uma amostra.

Exemplo: média amostral de 10 medidas é igual e 5. Logo a estimativa da média amostral é 5.

Média populacional

A média populacional é calculada somando-se todos os valores da população e dividindo o resultado pelo total de elementos da população. Em uma população de N elementos, a média populacional é dada por:

$$\mu=\dfrac{x_1+\ldots+x_N}{N}$$

em que:

N: tamanho da população ou números de elementos da população;
$\mu$: parâmetro referente a média populacional;
$x_1, \dots, x_N$: elementos da população.

Observação: os parâmetros, geralmente são dadas pelas letras gregas, no caso da média é dada pela letra grega $\mu$.

Exemplo (Média populacional)

Suponha, sem perda de generalidade, que a medida de massa da população brasileira é de 80 kg.

$$\mu=\dfrac{40+ 120+ 86 + 31+ \ldots + 94}{220 \text{ milhões} }= 80$$

Média amostral

A média amostral, aritmética, ou simplesmente média, é obtida quando somamos os valores das observações da amostra e dividimos o resultado pelo número de valores da amostra. Assim, a média amostral é dada por:

$$\overline{X}=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$$

em que:

n: tamanho da amostra ou números de elementos da amostra;
$\overline{X}$: estimador referente a média amostral;
$x_1, \dots, x_n$: elementos da amostra.

Exemplo (Média Amostral) para altura de crianças

Uma amostra de 5 crianças em que foi medida sua altura.

Criança	Altura
1	1.48
2	1.38
3	1.35
4	1.60
5	1.51

Desta forma, a média é dada por

$$\overline{X}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=\dfrac{1.48 + 1.38 + 1.35 + 1.60 + 1.51}{5} = 1.464$$

Portanto, a estimativa da média de 5 crianças é de 1.464 metros.

Moda

Como o estatístico não tem muita criatividade, é o número que está na moda ou que aparece mais vezes. Mais especificamente, definimos como:

Definição (Moda): é o valor que apresenta a maior frequência.

Exemplo (Moda) para número de brinquedos

Seja o número de brinquedos que um grupo de 8 crianças possuem é dada pela tabela a seguir:

Criança	Número de brinquedos
1	1
2	10
3	12
4	7
5	6
6	10
7	10
8	3

A moda é dada pelo número 10, pois ela aparece 3 vezes.

Mediana

Para calcular a mediana devemos seguir o algoritmo:

Passo 1: ordenar os dados do menor para o maior valor;
Passo 2: verificar o número de observações:
- se o número de observações for ímpar, a mediana será a observação central;
- se o número de observações for par, a mediana será a média aritmética das duas observações centrais.

Notação: $\widetilde{X}$

Exemplo (Mediana) para alunos de matemática

Em um curso de graduação de matemática têm o números de alunos formados por ano. Os valores observados estão apresentados na tabela a seguir.

Ano	Número de Alunos
2020	13
2021	10
2022	12

O primeiro passo é ordenar os dados

Ano	Número de Alunos Formados
2021	10
2022	12
2020	13

Como o número de observações é ímpar, a mediana é dada pelo valor do “meio”, que é 12. Portanto temos que:

$$\text{Mediana} = \widetilde{X} = 12$$

Exemplo (Mediana) para alunos vacinados para Covid-19

Em uma escola têm o números vacinados para COVID-19. Os valores observados estão apresentados na tabela a seguir.

Classe	Número de Alunos Vacinados
A	15
B	7
C	3
D	9