Aqui estão as resoluções de M01 a M06, com o raciocínio de cada item e verificações dos resultados. Use o caderno oficial, 2º dia para consultar os enunciados e os desenhos; abaixo retomamos apenas os dados necessários aos cálculos.

As explicações são autorais. A conferência das respostas utiliza o guia oficial da FUVEST, páginas 40 a 48, disponível no acervo de 2024. M02 exige atenção: os dados impressos são inconsistentes e o guia aceita diferentes abordagens.

Gabarito

Questão Tema Respostas
M01 Móbiles e sistemas a) topo 64; círculos vazios: 4, 11, 8, 8, 16, da esquerda para a direita; b) 27; c) $5/4$, $35/12$, $7/4$, $7/6$
M02 Probabilidade condicional Dados incompatíveis: preferências somam 110%; veja a discussão e os cálculos condicionados a uma hipótese explícita
M03 Retas e parábola a) $(-1,1)$ e $(3,9)$; b) $(28/25,21/25)$; c) $B=(5/2,25/4)$, $C=(3/2,9/4)$
M04 Exponenciais a) $2$ m; b) $9\sqrt2/4$ m; c) $2\log_2(2+\sqrt3)$ m
M05 Sólidos de revolução a) $16$ unidades de área; b) $128\pi/3$ unidades de volume; c) $32\sqrt2\pi/3$ unidades de volume
M06 Função piso a) $10/3$; b) $[5/2,3)$; c) $[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})$

M01: Como ler um móbile matemático

Consulte os três desenhos na página 3 do PDF da prova. A regra é $ac=bd$ e $x=ac+bd$; um ramo sem número tem coeficiente 1. Nos cálculos, o valor de uma subestrutura inclui os círculos que ela sustenta.

a) Móbile I

Comece na extremidade inferior esquerda. O círculo em branco equilibra o círculo 4, logo também vale 4. O conjunto pendurado abaixo do círculo 3 vale $4+4=8$. Incluindo o próprio 3, esse ramo vale $3+8=11$; portanto o círculo à sua direita recebe 11.

Agora suba um nível. A estrutura abaixo do círculo 10 vale $11+11=22$. O lado esquerdo do suporte principal totaliza

$$10+22=32.$$

O lado direito também deve valer 32. Sua primeira divisão tem dois ramos iguais, de valor 16: o círculo da direita recebe 16, e o par da esquerda soma 16. Cada círculo desse par recebe 8.

Assim, o triângulo no topo recebe $32+32=\boxed{64}$. Uma conferência direta consiste em somar todos os círculos:

$$10+3+4+4+11+8+8+16=64.$$

Cuidado: o círculo 3 não representa sozinho o ramo inteiro; ainda há dois círculos pendurados nele.

b) Móbile II

Cada bifurcação divide o valor em duas partes iguais. Partindo de 912, os valores dos ramos sucessivos são

$$912\longrightarrow456\longrightarrow228\longrightarrow114\longrightarrow57.$$

O círculo $2n+3$ está no último nível. Portanto,

$$2n+3=57\quad\Rightarrow\quad n=\boxed{27}.$$

Substituindo: $2\cdot27+3=57$, e quatro duplicações recuperam 912.

c) Móbile III

Nomeie os quatro círculos, da esquerda para a direita, por $x,y,z,w$. As condições de equilíbrio são

$$7x=3y,\qquad2z=3w.$$

Defina os valores dos conjuntos inferiores por $L=7x+3y$ e $R=2z+3w$. No suporte superior,

$$2L=5R,\qquad2L+5R=70.$$

Como as parcelas são iguais, cada uma vale 35. Logo $L=35/2$ e $R=7$. Dividindo novamente cada conjunto em duas contribuições iguais,

$$7x=3y=\frac{35}{4},\qquad2z=3w=\frac72.$$

Assim,

$$\boxed{x=\frac54,\quad y=\frac{35}{12},\quad z=\frac74,\quad w=\frac76}.$$

Os coeficientes fazem parte da regra do móbile: somar apenas os quatro círculos não deve produzir 70.

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M02: Verifique os dados antes de calcular

Os kits A, B e C têm preferências indicadas de 40%, 30% e 40%. As chances de atendimento, conforme o kit escolhido, são 80%, 90% e 70%.

A inconsistência do enunciado

Cada cliente indica uma única preferência. Portanto, os eventos de preferir A, B ou C são mutuamente exclusivos e abrangem todos os clientes. Suas probabilidades deveriam somar 1, mas

$$0{,}4+0{,}3+0{,}4=1{,}1.$$

Não existe uma distribuição de probabilidades que satisfaça simultaneamente esses dados. Essa justificativa é uma das respostas aceitas no guia oficial para a questão.

É possível enxergar o problema por dois caminhos para o item a. A soma direta das contribuições de não atendimento produz

$$0{,}4\cdot0{,}2+0{,}3\cdot0{,}1+0{,}4\cdot0{,}3=0{,}23.$$

Já a soma das contribuições de atendimento produz $0{,}87$, cujo complemento seria $0{,}13$. O desacordo não vem da regra do complementar: vem de usar pesos que somam 1,1 como se fossem probabilidades.

Um modelo coerente para estudar os três itens

Para praticar, podemos adotar uma hipótese adicional: tratar $40:30:40$ como proporções e normalizá-las. Isso altera o modelo impresso e não constitui uma correção oficial única. Nessa hipótese,

$$P(A)=\frac4{11},\qquad P(B)=\frac3{11},\qquad P(C)=\frac4{11}.$$

Seja $T$ o evento de ter a preferência atendida.

a) Não atendimento. Separe os clientes em três grupos e multiplique a proporção de cada grupo pela chance de falha nele:

$$P(T^c)=\frac4{11}\cdot\frac2{10}+\frac3{11}\cdot\frac1{10}+\frac4{11}\cdot\frac3{10}=\boxed{\frac{23}{110}}.$$

A chance de atendimento fica $87/110$; agora as duas probabilidades somam exatamente 1.

b) Dois amigos com preferências distintas. Suponha escolhas independentes e atendimentos independentes dadas as preferências. Antes de saber a ordem dos amigos, os pares AB, AC e BC têm pesos proporcionais a

$$4\cdot3:4\cdot4:3\cdot4=12:16:12.$$

Condicionando a preferências distintas, esses pesos tornam-se $3/10$, $4/10$ e $3/10$. A chance de ambos serem atendidos é

$$\frac3{10}(0{,}8\cdot0{,}9)+\frac4{10}(0{,}8\cdot0{,}7)+\frac3{10}(0{,}9\cdot0{,}7)=\boxed{0{,}629}.$$

Uma média simples dos três produtos estaria errada: o par AC é mais frequente nesse modelo.

c) Preferência por B entre os atendidos. A probabilidade conjunta de escolher B e ser atendido é $(3/11)(9/10)=27/110$. Divida-a pela probabilidade de atendimento:

$$P(B\mid T)=\frac{27/110}{87/110}=\boxed{\frac9{29}}\approx31{,}03\%.$$

Esses três resultados pertencem à hipótese normalizada. Na prova tal como impressa, a conclusão fundamental é a incompatibilidade dos dados; o guia oficial detalha os critérios de aceitação de outras abordagens.

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M03: Retas e parábola

Trabalhamos com $P:y=x^2$, $r:ax+by+c=0$ e $O=(0,0)$.

a) Intersecção para $(a,b,c)=(2,-1,3)$

Na reta, $y=2x+3$. Um ponto comum deve satisfazer as duas expressões de $y$:

$$x^2=2x+3\quad\Rightarrow\quad(x-3)(x+1)=0.$$

Para $x=-1$, temos $y=1$; para $x=3$, temos $y=9$.

Resposta: $\boxed{(-1,1)\text{ e }(3,9)}$.

b) Ponto de $4x+3y=7$ mais próximo da origem

A menor distância de um ponto a uma reta é medida pelo segmento perpendicular. A reta dada tem coeficiente angular $-4/3$; a perpendicular que passa por $O$ tem equação $y=3x/4$.

Substituindo,

$$4x+3\cdot\frac{3x}{4}=7\quad\Rightarrow\quad25x=28.$$

Logo,

$$\boxed{\left(\frac{28}{25},\frac{21}{25}\right)}.$$

Conferência: $4(28/25)+3(21/25)=7$. O vetor até esse ponto é proporcional a $(4,3)$, normal à reta, confirmando a perpendicularidade.

c) Paralelismo com $A=(-1,1)$ e distância $BC=\sqrt{17}$

Escreva $B=(u,u^2)$ e $C=(v,v^2)$. Como B está no primeiro quadrante, $u>0$. O segmento OC precisa ser não degenerado, portanto $v\ne0$.

Os coeficientes angulares de AB e OC são

$$\frac{u^2-1}{u+1}=u-1,\qquad\frac{v^2}{v}=v.$$

O paralelismo fornece $v=u-1$. Usando a distância ao quadrado,

$$17=(u-v)^2+(u^2-v^2)^2=1+(u+v)^2.$$

Assim, $u+v=\pm4$. Juntando com $u-v=1$, obtemos $u=5/2$ ou $u=-3/2$. A condição do primeiro quadrante seleciona

$$\boxed{B=\left(\frac52,\frac{25}{4}\right),\qquad C=\left(\frac32,\frac94\right)}.$$

As diferenças entre as coordenadas são 1 e 4, de modo que $BC=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$.

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M04: A altura da corda

O modelo da corda é $f(x)=2^x+2^{-x}$, com medidas em metros.

a) Altura mínima

Faça $t=2^x>0$. Como $(t-1)^2\ge0$, dividindo por $t$ temos

$$t+\frac1t\ge2.$$

A igualdade exige $t=1$, isto é, $x=0$. Portanto, a altura mínima é $\boxed{2\text{ m}}$. A desigualdade prova que se trata de um mínimo global, sem depender apenas da aparência do gráfico.

b) Hastes separadas por 3 m

A função é par: $f(-x)=f(x)$. Ela é estritamente crescente para $x\ge0$: se $1\le s0$. Assim, dois pontos distintos de mesma altura ficam em posições opostas.

As hastes estão em $x=-3/2$ e $x=3/2$. A altura é

$$f\left(\frac32\right)=2\sqrt2+\frac1{2\sqrt2}=2\sqrt2+\frac{\sqrt2}{4}=\boxed{\frac{9\sqrt2}{4}\text{ m}}.$$

c) Distância entre os pontos de altura 4 m

Resolver $t+1/t=4$ equivale a resolver

$$t^2-4t+1=0\quad\Rightarrow\quad t=2\pm\sqrt3.$$

Os valores são positivos e recíprocos, pois $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1$. Portanto, as abscissas são opostas:

$$x=\pm\log_2(2+\sqrt3).$$

Os pontos têm a mesma ordenada. Sua distância é a diferença entre as abscissas, e não o comprimento do arco da corda:

$$\boxed{d=2\log_2(2+\sqrt3)\text{ m}}.$$

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M05: Um triângulo, três eixos de rotação

A região é o triângulo de vértices $O=(0,0)$, $A=(4,0)$ e $B=(0,4)$, delimitado por $x+y=4$ e pelos eixos coordenados.

a) Rotação em torno de Oy: área da seção

A rotação produz um cone com raio 4 e altura 4. A seção pelo plano Oxy atravessa seu eixo e contém tanto o triângulo original quanto seu reflexo à esquerda de Oy. É um triângulo de base 8 e altura 4:

$$\boxed{A=\frac{8\cdot4}{2}=16}.$$

Observe o que se pede: a área da seção plana do sólido, não a área lateral do cone.

b) Rotação em torno de $x=4$: volume

A uma altura $y\in[0,4]$, o triângulo ocupa $0\le x\le4-y$. As distâncias dessas extremidades ao eixo $x=4$ são 4 e $y$. Ao girar, a faixa gera uma coroa circular com raio externo 4 e raio interno $y$.

Isso identifica o sólido como um cilindro de raio 4 e altura 4 com uma cavidade cônica de mesmas dimensões. Portanto,

$$V=\pi\cdot4^2\cdot4-\frac13\pi\cdot4^2\cdot4=\boxed{\frac{128\pi}{3}}.$$

c) Rotação em torno de $x+y=4$: volume

O eixo é a hipotenusa AB. O pé da perpendicular de O a AB é $H=(2,2)$. As distâncias relevantes são

$$OH=AH=BH=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.$$

Divida o triângulo pelo segmento OH. Girando, OAH e OBH geram dois cones que compartilham a base circular e ficam em lados opostos dela. Cada cone tem raio $OH$ e altura $AH$ ou $BH$.

$$V=2\cdot\frac13\pi(2\sqrt2)^2(2\sqrt2)=\boxed{\frac{32\sqrt2\pi}{3}}.$$

A altura de cada cone é metade da hipotenusa original; usar 4 como altura confundiria os catetos com o eixo de rotação.

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M06: Equações com a função piso

A definição que usaremos é

$$\lfloor x\rfloor=n\quad\Longleftrightarrow\quad n\le xa) $x\lfloor x\rfloor=10$

Primeiro, verifique os números negativos. Se $-3\le x<0$, então $-\lfloor x\rfloor\le3$ e $-x\le3$, logo $x\lfloor x\rfloor\le9$. Se $x<-3$, temos $\lfloor x\rfloor\le-4$ e o produto é maior que 12. Não há solução negativa.

Para $0\le x<3$, o produto é menor que 6; para $x\ge4$, é pelo menos 16. Resta $3\le x<4$, intervalo no qual o piso é 3:

$$3x=10\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=\frac{10}{3}}.$$

Como $3\le10/3<4$, a solução respeita o intervalo usado.

b) $\lfloor2x\rfloor+\lfloor x\rfloor=7$

Escreva $x=n+r$, com $n\in\mathbb Z$ e $0\le r<1$. Então

$$\lfloor2x\rfloor+\lfloor x\rfloor=3n+\lfloor2r\rfloor.$$

O último piso só pode ser 0 ou 1. Se for 0, teríamos $3n=7$, impossível para um inteiro. Se for 1, temos $3n+1=7$, portanto $n=2$ e $1/2\le r<1$.

Logo,

$$\boxed{x\in\left[\frac52,3\right)}.$$

O extremo $5/2$ entra porque $5+2=7$. O extremo 3 fica de fora porque $6+3=9$.

c) $\lfloor x^2\rfloor-4\lfloor x\rfloor+3=0$

Reorganize a equação:

$$\lfloor x^2\rfloor=4\lfloor x\rfloor-3.$$

Se $x<1$, o lado direito é negativo e o esquerdo é não negativo. Portanto $x\ge1$.

Defina $n=\lfloor x\rfloor\ge1$. Como $x\ge n$, temos $\lfloor x^2\rfloor\ge n^2$. Uma condição necessária é

$$n^2\le4n-3\quad\Rightarrow\quad(n-1)(n-3)\le0.$$

Assim, basta examinar $n=1,2,3$. Em cada caso, precisamos impor tanto o piso de $x$ quanto o de $x^2$:

$n$ Condição em $x^2$ Intersecção com $n\le x
1 $1\le x^2<2$ $[1,\sqrt2)$
2 $5\le x^2<6$ $[\sqrt5,\sqrt6)$
3 $9\le x^2<10$ $[3,\sqrt{10})$

Portanto,

$$\boxed{[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})}.$$

Os extremos superiores são excluídos porque, neles, o piso de $x^2$ aumenta uma unidade. Não se pode substituir $\lfloor x^2\rfloor$ por $\lfloor x\rfloor^2$: por exemplo, em $x=\sqrt5$, esses valores são 5 e 4.

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