Abra os Principia de Newton, de 1687, e você verá figuras em quase toda página: triângulos, elipses, setas, tangentes. Abra a Mecânica analítica de Lagrange, publicada cem anos depois, em 1788, e não verá nenhuma. O próprio autor avisa isso no prefácio, com orgulho, e completa:

Os que amam a análise verão com prazer a mecânica tornar-se um novo ramo dela, e me serão gratos por ter assim estendido o seu domínio.

— Joseph-Louis Lagrange, prefácio da Mecânica analítica (1788)
Folha de rosto da primeira edição da *Méchanique analitique*, Paris, 1788.
Folha de rosto da primeira edição da Méchanique analitique, Paris, 1788.Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · domínio público

O livro foi escrito em Berlim e levado a Paris quase pronto. Nenhum editor queria arriscar dinheiro num tratado tão difícil, e foi o jovem Adrien-Marie Legendre quem convenceu um livreiro a publicá-lo e revisou as provas. Conta-se que, quando o volume impresso chegou, Lagrange passou dois anos sem abri-lo, num dos seus períodos de desânimo.

O problema das forças

Na mecânica de Newton, para saber como um corpo se move, é preciso listar todas as forças que agem sobre ele e somá-las como setas. Num pêndulo, por exemplo, agem o peso e a tensão do fio. O peso é fácil; a tensão, não: ela muda a cada instante e ninguém a conhece de antemão. Só serve para manter a bolinha presa ao fio, e mesmo assim é preciso calculá-la para chegar ao movimento.

Lagrange queria um método em que essas forças de amarração simplesmente não aparecessem.

Uma função para tudo

A ideia de Lagrange foi descrever o sistema por coordenadas escolhidas à vontade, as que forem mais naturais. Para o pêndulo, basta um número: o ângulo $\theta$ do fio com a vertical. Depois, escrever duas energias em termos dessas coordenadas:

  • $T$, a energia de movimento (hoje chamada energia cinética);
  • $V$, a energia guardada pela posição (hoje, energia potencial).

E formar uma única função, que hoje se chama lagrangiana:

$$L=T-V.$$

O movimento verdadeiro é o que satisfaz a equação de Euler-Lagrange, agora com o tempo $t$ no lugar de $x$:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,$$

em que $q$ é a coordenada e $\dot q$, um ponto em cima, é a sua velocidade, na notação de Newton. É uma receita: escreva $L$, derive, iguale a zero. Não há figuras nem setas.

Primeiro teste: a queda livre

Para um corpo de massa $m$ na altura $h$, a energia de movimento é $T=\frac12m\dot h^2$ e a guardada é $V=mgh$. Então

$$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$

A equação fica $m\ddot h+mg=0$, ou $\ddot h=-g$: o corpo cai com aceleração constante $g$. É a lei de Galileu, reencontrada sem desenhar uma única seta.

O pêndulo

Agora o exemplo em que Newton sofre. Uma bolinha de massa $m$ está presa a um fio de comprimento $\ell$. Com o ângulo $\theta$, a bolinha anda com velocidade $\ell\dot\theta$ e fica a uma altura $-\ell\cos\theta$ abaixo do ponto de suspensão. Logo

$$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta.$$

Derivando, $\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=m\ell^2\dot\theta$ e $\frac{\partial L}{\partial\theta}=-mg\ell\sin\theta$. A equação de Lagrange dá

$$\begin{aligned}&m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=0\\ &\Longrightarrow\quad\ddot\theta=-\frac g\ell\sin\theta.\end{aligned}$$

A tensão do fio não apareceu em nenhum momento. Ao escolher $\theta$ como coordenada, o fio já está “dentro” da descrição: a bolinha não tem como sair do círculo. Para ângulos pequenos, $\sin\theta\approx\theta$ e a equação vira a da mola, com período

$$P=2\pi\sqrt{\frac\ell g}.$$

Um poema científico

O método vale para sistemas com qualquer número de coordenadas: pêndulos duplos, piões, planetas, cordas vibrantes. Em 1834, o irlandês William Rowan Hamilton reescreveu as equações de Lagrange de uma forma ainda mais simétrica e escreveu sobre o livro:

Lagrange fez, talvez mais do que qualquer outro analista, para dar extensão e harmonia a essas pesquisas dedutivas […]. Fez da sua grande obra, a Mecânica analítica, uma espécie de poema científico.

— William Rowan Hamilton, Sobre um método geral em dinâmica (1834)
Exercício: qual comprimento de pêndulo tem período de 2 segundos?

De $P=2\pi\sqrt{\ell/g}$, temos $\ell=g\left(\frac{P}{2\pi}\right)^2=9{,}81\cdot\frac1{\pi^2}\approx0{,}994$ m. É o pêndulo que bate o segundo: cada ida dura 1 segundo. Em 1791, a comissão do sistema métrico, da qual Lagrange fazia parte, discutiu usar esse comprimento como definição do metro. Preferiu a décima milionésima parte do quarto do meridiano terrestre, porque $g$ muda de um lugar para outro.

Exercício: a mola pela receita de Lagrange

Uma massa $m$ presa a uma mola de constante $k$, deslocada de $x$, tem $T=\frac12m\dot x^2$ e $V=\frac12kx^2$. Então $L=\frac12m\dot x^2-\frac12kx^2$, $\frac{\partial L}{\partial\dot x}=m\dot x$ e $\frac{\partial L}{\partial x}=-kx$. A equação dá $m\ddot x+kx=0$, a mesma que se obtém pela lei de Hooke e por $F=ma$.

Fontes: Joseph-Louis Lagrange, Méchanique analitique (1788), no Internet Archive · biografia de Lagrange, MacTutor · William Rowan Hamilton, “On a General Method in Dynamics”, Philosophical Transactions (1834).

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