OBMEP 2023 – 1ª fase – Nível 2: resolução completa

Material oficial: prova completa · soluções da OBMEP · acervo do ano.

As resoluções abaixo seguem a numeração do caderno oficial. Abra a prova para acompanhar os enunciados, as alternativas e os diagramas; as explicações aqui são autorais. Tente cada questão antes de consultar a resposta.

Gabarito

Questão 1 — Alfinetes

A folha inferior esquerda e a inferior direita precisam conservar seus respectivos alfinetes: nenhum outro as prende. Também é necessário conservar ao menos um alfinete da folha superior esquerda e um da superior direita. Portanto ficam pelo menos quatro dos dez. Escolha, nessas duas folhas superiores, alfinetes que também prendam as folhas sobrepostas do meio. Essa escolha sustenta as seis folhas usando quatro alfinetes. Podemos retirar $10-4=6$ — E.

Questão 2 — Cartões sobrepostos

E está por cima de todos; A vem logo abaixo dele e acima de B. B, por sua vez, cobre os dois cartões iniciais, C e D. A ordem parcial é $(C,D)$, B, A, E, com possibilidade de trocar os dois primeiros. O terceiro é B — alternativa B.

Questão 3 — Pizzas

Com $k$ pizzas cortadas em oito fatias, as outras $5-k$ têm seis. O total é $30+2k$, que assume 30, 32, 34, 36, 38 ou 40. Apenas 36 é múltiplo de 9, dando quatro fatias por amigo — A.

Questão 4 — Tabuleiros

Cada tabuleiro usa $7\cdot17=119$ peças. Como $2023=7\cdot17^2$, a divisão por 119 resulta em 17 tabuleiros — E. A área de cada peça é $1\text{ cm}^2$, portanto a contagem coincide com a área coberta.

Questão 5 — Leitura em dias alternados

As 21 páginas correspondem a três sessões: sexta, domingo e terça. São sete páginas por sessão. O livro de 105 páginas exige 15 sessões; entre a primeira e a última há 14 intervalos de dois dias, ou 28 dias. Quatro semanas depois de uma sexta-feira é novamente sexta-feira — C.

Questão 6 — Cubos azuis

Conte os cubos que exibem ao menos uma face branca: são nove, e nenhum deles pode ser todo azul. Dos 14 cubos da pilha, os outros cinco podem ter faces escondidas azuis sem contrariar o desenho. Resposta: cinco — E.

Questão 7 — Razão entre áreas de quadrados

Trace a diagonal AC do quadrado maior, as diagonais do menor e as perpendiculares às bases dos triângulos laterais. Usando os segmentos iguais indicados no desenho, uma metade do quadrado grande se decompõe em nove triângulos congruentes a XBY. O quadrado inteiro tem 18 unidades triangulares, e o menor, quatro. Portanto,

Alternativa A. Comparar apenas os lados desenhados em direções diferentes não fornece a razão entre áreas.

Questão 8 — Roda-gigante

Pontos diametralmente opostos têm alturas cuja média é a altura do centro. Logo a soma das alturas permanece constante, mesmo quando a roda gira. Inicialmente a soma é $3+5=8$ m. Quando Maria está a 7 m, Paulo está a $8-7=1$ m — B.

Questão 9 — Área na malha

Se cada quadradinho tem lado $l$, divida a região amarela nos dois triângulos indicados pelos vértices do desenho. Suas bases e alturas, medidas na malha, dão áreas $(2l)(3l)/2=3l^2$ e $(2l)(2l)/2=2l^2$. Então $5l^2=30$, de onde $l^2=6\text{ cm}^2$ — E.

Questão 10 — Produtos e inversos

Os três produtos dos inversos das incógnitas são 2, 3 e 6. Para obter o quadrado de um inverso, multiplique os dois produtos que o contêm e divida pelo terceiro. Os três quadrados são, em alguma ordem,

A soma pedida vale $1+4+9=14$ — C. Esse procedimento dispensa encontrar os sinais das incógnitas.

Questão 11 — Divisibilidade de um número de três algarismos

Escreva $\overline{ABC}=10\overline{AB}+C$. Ao dividir por $\overline{AB}$, a parte restante é $C/\overline{AB}$. Como $0\le C\le9<\overline{AB}$, ela só pode ser inteira quando $C=0$. Para A há nove escolhas não nulas; para B, oito, excluindo zero e A. Total: $9\cdot8=72$ — C.

Questão 12 — Soma e produto

Como $2048=2^{11}$, os quatro inteiros positivos são potências de 2. A soma 67 é ímpar, então há um ou três termos iguais a 1. Com três uns, sobra 64, mas o produto seria 64. Com um só 1, as outras três potências somam 66: precisam ser 32, 32 e 2, pois, se todas fossem no máximo 16, a soma não chegaria a 66; um termo 64 deixaria dois positivos pares somando 2, impossível. O produto é $32\cdot32\cdot2\cdot1=2048$. A menor soma de três é $32+2+1=35$ — B.

Questão 13 — Idades e mentira

A criança de 8 anos precisa fazer uma afirmação falsa. Das três frases, somente “não é 8” é falsa para ela. As outras falam a verdade: quem nega ter 9 tem 7, e quem nega ter 7 tem 9. A mais velha e a mais nova são as indicadas em B.

Questão 14 — Caminhos na malha

Nos dois pontos extremos destacados, há um caminho por ponto. Por cada ponto interno, há seis maneiras de chegar e seis de seguir até B. Como os caminhos para cima e para a direita não podem passar por dois desses pontos, não há contagem duplicada. O total é $1+1+6^2+6^2=74$ — E.

Questão 15 — Cartão que forma uma caixa

Denote por $h$ a altura da caixa e por $b,c$ os lados da base. Temos $hb=28$, $hc=24$ e $hbc=168$. Assim $c=168/28=6$, $h=24/6=4$ e $b=28/4=7$. Antes dos cortes, o cartão mede $(b+2h)\times(c+2h)$, isto é, $15\times14$. Sua área é $210\text{ cm}^2$ — D.

Questão 16 — Losangos

Cada losango é a união de dois triângulos pequenos vizinhos. Há três orientações possíveis. Numa orientação, conte por faixas: $4+3+2+1=10$. Uma rotação do triângulo grande leva essa orientação a cada uma das outras duas, sem alterar a contagem. Logo há $3\cdot10=30$ — B.

Questão 17 — Idades diferentes

Se a maior idade fosse no máximo 15, a maior soma de dez idades inteiras distintas seria $6+7+\cdots+15=105$, insuficiente. Portanto Mariana tem pelo menos 16. Esse limite é possível com $6,7,8,9,10,12,13,14,15,16$, cuja soma é 110. Logo o mínimo é 16 anos — D.

Questão 18 — Nomes e cores

A menina de azul não é Alice, Cláudia nem Daniela; então é Beatriz. Cláudia não veste preto nem vermelho pela segunda informação, e também não veste azul: veste branco. Na roda, Beatriz fica entre Cláudia e Daniela. A menina de preto precisa estar entre a de vermelho e Cláudia, portanto não pode ser Daniela, que é vizinha de Beatriz. Concluímos: Alice de preto, Beatriz de azul, Cláudia de branco e Daniela de vermelho — E.

Questão 19 — Evitando soma 86

De 10 a 76, forme os 33 pares $(10,76),(11,75),\ldots,(42,44)$. Podemos escolher no máximo um de cada par. O 43 pode entrar, pois não se repete um mesmo número; todos os 23 números de 77 a 99 também podem. O limite é $33+1+23=57$, atingido escolhendo todos os números de 43 a 99. Resposta: 57 — C.

Questão 20 — Área da estrela

Na decomposição do desenho, use o losango ABCD: a diagonal BD o divide em dois triângulos de mesma área. Além disso, os triângulos PBC e QCD são congruentes pelos lados do pentágono regular. A parte azul e a branca ficam, cada uma, com três triângulos do primeiro tipo e um do segundo. As áreas são iguais; a fração azul é $1/2$ — C.

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