Uma das relações mais importantes da matemática moderna são as relações de equivalências. Elas por sinal, aparecem em boa parte dos estudos de matemática.

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Relação de Equivalência

No post anterior, mostramos algumas propriedades como:

  • reflexiva;
  • simétrica;
  • transitiva;
  • anti-simétrica.

Algumas delas são necessárias para ser uma relação de quivalência.

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Definição (Relações de Equivalência): Uma relação $\mathcal{R}$ sobre um conjunto $A$ é dita ser uma relação de equivalência sobre $A$ se $\mathcal{R}$ é reflexiva, simétrica e transitiva.

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Exemplos

Para ilustramos, observe o exemplo a seguir:

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Exemplo 1: A relação diagonal definida como $\Delta = \\{(x,x); x\in A\\}$, é uma relação de equivalência sobre $A.$ Esta é a “menor” relação de equivalência sobre $A$

Exemplo 2: A relação $A\times A$ sobre $A$ é a “maior” relação de equivalência sobre $A.$

Exemplo 3: Sejam $A=\mathbb{Z}$. A relação:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$

é uma relação de equivalência sobre o conjunto dos números inteiros.

Classe de Equivalência módulo R

Definição Seja $\mathcal{R}$ uma relação de equivalência sobre um conjunto não vazio $A.$ Para cada $a \in A,$ o subconjunto de $A$ definido por

$$\overline{a} = \\{x \in A;\quad x \mathcal{R} a\\},$$

é dito ser a classe de equivalência determinada pelo elemento a módulo $\mathcal{R}$.

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O conjunto das classes de equivalência módulo $\mathcal{R}$, será indicado por $A/R$ e chamado de conjunto quociente de $A$ por $\mathcal{R}$.

Note que se $\mathcal{R}$ é uma relação de equivalência sobre um conjunto não vazio $A,$ então para todo $a \in A,$ temos $a \in a,$ ou seja, cada classe de equivalência é um subconjunto não vazio de $A.$

Exemplo 3: Sejam $A=\mathbb{Z}$. A relação:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$ colecao
  • Para $0\in \mathbb{Z}$
$$ \begin{aligned} \overline{0} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} \\ \end{aligned} $$
  • Para $1 \in \mathbb{Z},$ temos
$$ \begin{aligned} \overline{1} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-1 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+1, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} +1 \end{aligned} $$
  • Para $2 \in \mathbb{Z},$ temos
$$ \begin{aligned} \overline{2} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-2 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+2, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} +2 \end{aligned} $$
  • Para $3 \in \mathbb{Z},$ temos
$$ \begin{aligned} \overline{3} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-3 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+3, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} = 0 \end{aligned} $$

Resultado para relação de equivalência

A seguir vamos ver um resultado importante para relação de equivalência para $\mathbb{Z}/\mathcal{R} = \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$

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Teorema Sejam $\mathcal{R}$ uma relação de equivalência sobre um conjunto não vazio $A$ e $a, b \in A.$ As seguintes proposições são equivalentes:

  • (a) $a\mathcal{R} b$
  • (b) $a \in b$
  • (c) $b \in a$
  • (d) $a = b.$

Demonstração:

  • (a) $\Longleftrightarrow$ (b)

Decorre imediatamente da definição de classe de equivalência.

  • (b) $\Longrightarrow$ (c)

    • $a \in b$ implica em $a\mathcal{R} b$ pela definição de classe.
    • Assim como $a\mathcal{R} b$ implica em $b\mathcal{R} a$ pela simetria de $\mathcal{R}$.
    • Consequentemente, $b\mathcal{R} a$ implica em $b\mathcal{R} \overline{a}$ pela definição de classe.

  • (c) $\Longrightarrow$ (d)

Note que $\overline{a}$ e $\overline{b}$ são dois conjuntos. Desta forma, mostrar que $\overline{a} = \overline{b}$ é equivalente a mostrar que:

  • (1) $\overline{a} \subseteq \overline{b}$
  • (2) $\overline{b} \subseteq \overline{a}$
  1. Mostremos que $\overline{a} \subseteq \overline{b}$.

Para $x \in \overline{a},$ temos que $x\mathcal{R} a$ e, como por hipótese, $b \in \overline{a},$ temos também que $b\mathcal{R} a.$

Como $\mathcal{R}$ é simétrica, obtemos $x\mathcal{R} a$ e $a\mathcal{R} b$. Fato esse que implica pela transitividade de $\mathcal{R}$ que $x\mathcal{R} b$. Consequentemente,$x \in b$.

  1. Análogo.
  • (d) $\Longrightarrow$ (a)

Seja $x \in \overline{a} = \overline{b}.$ Então, pela definição de classe, temos que $x\mathcal{R} a$ e $x\mathcal{R} b$.

Agora, da propriedade simétrica e transitiva de $\mathcal{R}$, obtemos $a\mathcal{R} b$.

$\square$

Aplicação do resultado

Mostremos agora a afirmação $\mathbb{Z}/\mathcal{R} = \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$

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Para $A = \mathbb{Z}$ e $\mathcal{R} = \\{(x, y) \in Z × Z; ~ x − y \text{ é múltiplo de } 3\\}$

Note que $\mathbb{Z}/\mathcal{R} \supseteq \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$

Se $a \in \mathbb{Z}/\mathcal{R},$ então ao dividirmos $a$ por $3,$ obtemos que $a = 3q + r,$ com $r = 0, 1$ ou $2.$

Neste caso, temos que $r \in a$. Pelo teorema anterior, temos $a = r$

Portanto $\mathbb{Z}/\mathcal{R} \subseteq \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}$.

Este é o resumo de Relações de Equivalência. Aguardem os próximos posts.