Fonte: FUVEST – prova da 2ª fase, 2º dia (questões M01 a M06), disponível no acervo da FUVEST 2025.

A 2ª fase da FUVEST 2025 teve, no 2º dia, questões discursivas específicas por carreira; a prova de Matemática tem seis questões, M01 a M06. Cada candidato resolveu só as disciplinas da sua carreira (as seis questões, ou apenas as quatro ou três primeiras). A 2ª fase não tem gabarito de múltipla escolha: a FUVEST publicou um Guia de Respostas com as respostas esperadas pela banca. As resoluções abaixo são nossas, e cada resultado foi conferido com esse guia e por um segundo caminho.

Gabarito

Questão Assunto Respostas
M01 Sistemas lineares: promoções de papelaria b) R$ 32,00; c) promoções I e III
M02 Probabilidade condicional e risco relativo a) 0,025; b) ≈ 0,833; c) 145
M03 Padrões numéricos em uma tabela a) $46 + 40n$; b) 10; c) $n$
M04 Financiamento no sistema Price (soma de PG) a) 38; b) R$ 19.294,05; c) $-\log_{1{,}01} 0{,}62$
M05 Progressões e casas decimais a) PA de razão 1/8; b) 2; c) $2^{b+1} - 1$
M06 Trigonometria numa escultura a) 45°; b) $k = 2\tan\alpha$; c) 2,5 m

Questão M01: Promoções de uma papelaria (sistemas lineares)

Enunciado

Uma papelaria oferece três diferentes promoções:

Composição Valor total (R$)
Promoção I 2 Cadernos de capa dura + 1 Caixa de lápis de cor + 1 Conjunto de canetas 86,00
Promoção II 3 Cadernos de capa dura + 3 Caixas de lápis de cor + 3 Conjuntos de canetas 174,00
Promoção III 3 Cadernos de capa dura + 2 Caixas de lápis de cor + 2 Conjuntos de canetas 142,00

Com base nessas informações, responda:

a) Escreva um sistema de três equações cujas incógnitas C, L e N representam, respectivamente, os preços do caderno de capa dura, da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas.

b) Considerando apenas as promoções II e III, qual é a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas?

c) A soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas é a mesma nas três promoções e o valor dessa soma depende do preço do caderno de capa dura. Suponha que, em apenas duas das promoções, o preço do caderno de capa dura seja o mesmo, sendo esse preço maior que a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas. Nessas condições, quais promoções possuem o mesmo preço para o caderno de capa dura?

Resolução

a) Cada promoção dá uma equação (quantidade × preço, somados, igual ao valor total):

$$ \begin{cases} 2C + L + N = 86 \\ 3C + 3L + 3N = 174 \\ 3C + 2L + 2N = 142 \end{cases} $$

Resposta (a): o sistema acima.

b) Com as equações das promoções II e III (mesmo $C$ nas duas), subtraímos a segunda da primeira:

$$(3C + 3L + 3N) - (3C + 2L + 2N) = 174 - 142 \quad\Rightarrow\quad L + N = 32$$

O caderno some na subtração, porque aparece 3 vezes nas duas promoções.

Resposta (b): R$ 32,00.

c) 1. Por que o preço do caderno muda. Chame $K = L + N$. Se o caderno tivesse o mesmo preço nas três promoções, a II daria $C + K = 58$ e a I daria $2C + K = 86$, logo $C = 28$ e $K = 30$. Mas então a III daria $3 \cdot 28 + 2 \cdot 30 = 144 \ne 142$. O sistema do item (a) é impossível: o preço do caderno não pode ser o mesmo nas três.

Então escrevemos $C_{\text{I}}$, $C_{\text{II}}$ e $C_{\text{III}}$ para o preço do caderno em cada promoção:

$$ \begin{cases} 2C_{\text{I}} + K = 86 \\ 3C_{\text{II}} + 3K = 174 \\ 3C_{\text{III}} + 2K = 142 \end{cases} $$

2. Testando os três pares possíveis.

  • I e II iguais ($C$): $2C + K = 86$ e $C + K = 58$. Subtraindo, $C = 28$ e $K = 30$. Aqui $C = 28 < 30 = K$: não serve (o caderno teria de ser mais caro que $K$).
  • I e III iguais ($C$): de $2C + K = 86$ vem $K = 86 - 2C$. Na terceira: $3C + 2(86 - 2C) = 142 \Rightarrow 172 - C = 142 \Rightarrow C = 30$, e $K = 26$. Aqui $C = 30 > 26 = K$: serve. (Na promoção II, $3C_{\text{II}} + 78 = 174$, então $C_{\text{II}} = 32$.)
  • II e III iguais ($C$): é o item (b): $K = 32$ e $3C + 64 = 142$, logo $C = 26$. Aqui $C = 26 < 32 = K$: não serve.

Resposta (c): as promoções I e III (caderno a R$ 30,00 em ambas; lápis + canetas a R$ 26,00).

Conferência: promoção I: $2 \cdot 30 + 26 = 86$ ✔; promoção III: $3 \cdot 30 + 2 \cdot 26 = 142$ ✔; promoção II: $3 \cdot 32 + 3 \cdot 26 = 174$ ✔.

Para revisar, veja Equações de Primeiro Grau.

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Questão M02: Risco relativo (probabilidade condicional)

Enunciado

O risco relativo (RR) é um termo estatístico utilizado para comparar as probabilidades condicionais de um determinado evento ocorrer, dado que um grupo está exposto a determinado fenômeno, enquanto outro não está exposto a esse mesmo fenômeno. Em termos matemáticos, tem-se que:

$$RR = \frac{P(\text{evento} \mid \text{exposto})}{P(\text{evento} \mid \text{não exposto})}$$

Um grupo de pessoas foi exposto, durante um longo período de tempo, a um determinado agente químico que pode representar um fator de risco para uma determinada doença. Outro grupo de pessoas não sofreu essa exposição. Em ambos os grupos, houve indivíduos que desenvolveram essa doença e outros não, como mostra a tabela a seguir.

Pessoas Com a doença Sem a doença Total
Expostas 500 300 800
Não expostas 100 23.100 23.200
Total 600 23.400 24.000

Com base nesses dados, qual é a estimativa para

a) a probabilidade de que um indivíduo qualquer desenvolva a doença?

b) a probabilidade de que um indivíduo tenha sido exposto, dado que desenvolveu a doença?

c) o risco relativo de que um indivíduo desenvolva a doença, dado que foi exposto ao agente químico?

Resolução

a) Dos 24 000 indivíduos, 600 têm a doença:

$$P(\text{doença}) = \frac{600}{24\thinspace 000} = \frac{1}{40} = 0{,}025$$

Resposta (a): 0,025 (2,5%).

b) “Dado que desenvolveu a doença” restringe o universo às 600 pessoas doentes. Delas, 500 foram expostas:

$$P(\text{exposto} \mid \text{doença}) = \frac{500}{600} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833$$

Resposta (b): $\frac{5}{6} \approx 0{,}833$ (cerca de 83,3%).

c) 1. Entre os expostos (800 pessoas), 500 ficaram doentes:

$$P(\text{doença} \mid \text{exposto}) = \frac{500}{800} = 0{,}625$$

2. Entre os não expostos (23 200 pessoas), 100 ficaram doentes:

$$P(\text{doença} \mid \text{não exposto}) = \frac{100}{23\thinspace 200} = \frac{1}{232}$$

3. Risco relativo:

$$RR = \frac{500/800}{100/23\thinspace 200} = \frac{500}{800} \cdot \frac{23\thinspace 200}{100} = 0{,}625 \cdot 232 = 145$$

Resposta (c): $RR = 145$: quem foi exposto tem risco 145 vezes maior de desenvolver a doença.

Cuidado: no item (b) a condição é “desenvolveu a doença”, então o denominador é 600 (total de doentes), e não 800 (total de expostos). Trocar os dois dá $500/800 = 0{,}625$, que é a probabilidade usada no item (c), não a do item (b).

Para revisar, veja Introdução à Probabilidade.

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Questão M03: Retângulos em uma tabela numérica

Enunciado

Após uma proposta de atividade de uma professora que incentivava estudantes de sua turma a explorar, em uma tabela numérica, o pensamento matemático por meio de atividades investigativas, a turma percebeu diversos padrões interessantes.

Considere uma tabela com 10 colunas, em que os números naturais estão dispostos sequencialmente a partir da primeira linha. Nessa tabela, a professora destacou um retângulo, como mostra a figura:

Posteriormente, definiu como $S$ a soma dos elementos do retângulo e como $D$ o módulo da diferença do produto dos elementos das diagonais. Para o retângulo destacado, temos:

$$S = 6 + 7 + 16 + 17 = 46.$$$$D = |7 \times 16 - 6 \times 17| = |112 - 102| = 10.$$

Se esse retângulo for deslocado uma coluna para a direita, teremos $S = 50$, e se for deslocado uma linha para baixo, teremos $S = 86$.

A partir das informações apresentadas, responda:

a) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado $n$ linhas para baixo, qual será o valor de $S$?

b) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado $n$ linhas para baixo, qual será o valor de $D$?

c) Considere agora que a tabela foi construída com $n$ colunas, sendo $n \ge 2$. Qual é o valor de $D$ para um retângulo cujo menor elemento é $k$, com $k \ne pn$ ($p \in \mathbb{N}$)?

Resolução

a) Descer uma linha numa tabela de 10 colunas soma 10 a cada número. Descendo $n$ linhas, cada um dos 4 números do retângulo aumenta $10n$:

$$S = (6 + 10n) + (7 + 10n) + (16 + 10n) + (17 + 10n) = 46 + 40n$$

Conferindo com o enunciado: para $n = 1$, $S = 86$ ✔.

Resposta (a): $S = 46 + 40n$.

b) Os elementos passam a ser $6 + 10n$, $7 + 10n$, $16 + 10n$ e $17 + 10n$. Chame $m = 10n$:

$$(7 + m)(16 + m) - (6 + m)(17 + m) = (112 + 23m + m^2) - (102 + 23m + m^2) = 10$$

Os termos com $m$ se cancelam.

Resposta (b): $D = 10$, para qualquer $n$.

Conferência numérica: para $n = 2$, o retângulo é 26, 27, 36, 37 e $|27 \cdot 36 - 26 \cdot 37| = |972 - 962| = 10$ ✔.

c) 1. O retângulo. Com $n$ colunas, o número logo abaixo de $x$ é $x + n$. Se o menor elemento é $k$, o retângulo é
$k$ $k + 1$
$k + n$ $k + n + 1$

A condição $k \ne pn$ garante que $k$ não está na última coluna, então $k + 1$ fica mesmo ao lado de $k$ (na mesma linha).

2. A diferença dos produtos das diagonais.

$$(k + 1)(k + n) - k(k + n + 1) = (k^2 + kn + k + n) - (k^2 + kn + k) = n$$

Resposta (c): $D = n$ (o número de colunas).

Conferência: com $n = 10$ e $k = 6$, a fórmula dá $D = 10$, o valor do enunciado ✔.

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Questão M04: Financiamento no sistema Price

Enunciado

O sistema Price, também conhecido como Sistema Francês de Amortização, é um modelo muito utilizado para financiamentos, como os de celulares e veículos. A principal característica desse sistema é que as parcelas são fixas durante todo o período do financiamento, ou seja, o valor que se paga periodicamente é o mesmo do início ao fim. A parcela do financiamento no sistema Price é composta por duas partes: amortização e juros. Nesse sistema, ao longo do tempo, o valor pago a título de juros diminui à medida que o valor pago a título de amortização aumenta, mantendo o valor total da parcela constante, conforme o modelo matemático:

$$V = \frac{P}{(1+j)} + \frac{P}{(1+j)^2} + \frac{P}{(1+j)^3} + \cdots + \frac{P}{(1+j)^n} = \frac{P}{(1+j)}\left[1 + \frac{1}{(1+j)} + \frac{1}{(1+j)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+j)^{n-1}}\right]$$

em que $V$ corresponde ao valor total financiado, $j$ representa a taxa de juros cobrada mensalmente, $n$ é o número de parcelas mensais a serem pagas e $P$ é o valor de cada uma das parcelas.

O valor de $n$ é um número inteiro, dado que é o número de parcelas do financiamento. Contudo, ao modelar matematicamente tal problema, pode-se deparar com valores não inteiros. Existem calculadoras que, por exemplo, mesmo que o valor modelado matematicamente para $n$ não seja inteiro, apresentam como resposta padrão $n$ como sendo o menor inteiro maior que o valor obtido com o modelo matemático. Por exemplo, considerando um valor financiado de R$19.000,00, que será cobrado a uma taxa de juros de 1% ao mês, com parcelas fixas de R$500,00, a calculadora apresenta como solução $n = 49$.

a) Supondo a ausência de juros, ou seja, uma taxa de juros de 0% ao mês, em quantas parcelas de R$500,00 poderia ser quitado o financiamento de R$19.000,00?

b) Considerando uma taxa de juros de 1% ao mês, parcelas fixas de R$500,00 e $n = 49$, calcule o valor financiado $V$ obtido por meio do modelo matemático apresentado.

c) Assumindo que $n$ não precisa ser inteiro no modelo matemático apresentado, encontre $n$ para um valor financiado de R$19.000,00 que será pago em parcelas fixas de R$500,00 a uma taxa de juros de 1% ao mês.

Note e adote:

  • No item (b), utilize, se necessário: $(1{,}01)^{-48} = 0{,}620260$; $(1{,}01)^{-49} = 0{,}614119$; $(1{,}01)^{-50} = 0{,}608039$.
  • No item (c), a resposta pode ser apresentada em função de logaritmo.

Resolução

a) Com $j = 0$, todos os denominadores valem 1 e o modelo vira $V = P + P + \cdots + P = nP$:

$$19\thinspace 000 = 500n \quad\Rightarrow\quad n = 38$$

Resposta (a): 38 parcelas.

b) 1. Fórmula fechada. Dentro dos colchetes há uma PG de $n$ termos, primeiro termo 1 e razão $q = \frac{1}{1+j}$. A soma é $\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$. Como $1 - q = \dfrac{j}{1+j}$, fica

$$V = \frac{P}{1+j} \cdot \frac{1 - (1+j)^{-n}}{\frac{j}{1+j}} = \frac{P}{j}\left[1 - (1+j)^{-n}\right]$$

2. Substituindo $P = 500$, $j = 0{,}01$ e $n = 49$, com $(1{,}01)^{-49} = 0{,}614119$:

$$V = \frac{500}{0{,}01}\left(1 - 0{,}614119\right) = 50\thinspace 000 \cdot 0{,}385881 = 19\thinspace 294{,}05$$

Resposta (b): $V \approx$ R$ 19.294,05.

(Faz sentido: com 49 parcelas dá para financiar um pouco mais que R$ 19.000,00, e com 48 parcelas, $50\thinspace 000 \cdot (1 - 0{,}620260) = 18\thinspace 987$, um pouco menos. Por isso a calculadora responde $n = 49$.)

c) Usando a mesma fórmula com $V = 19\thinspace 000$:

$$19\thinspace 000 = 50\thinspace 000\left[1 - (1{,}01)^{-n}\right] \quad\Rightarrow\quad 1 - (1{,}01)^{-n} = 0{,}38 \quad\Rightarrow\quad (1{,}01)^{-n} = 0{,}62$$

Aplicando o logaritmo na base 1,01:

$$-n = \log_{1{,}01} 0{,}62 \quad\Rightarrow\quad n = -\log_{1{,}01} 0{,}62 = \frac{\log 0{,}62}{\log(1{,}01)^{-1}}$$

Resposta (c): $n = -\log_{1{,}01} 0{,}62 \approx 48{,}04$.

Conferência: $n \approx 48{,}04$ fica entre 48 e 49, coerente com o item (b) e com a resposta $n = 49$ da calculadora (menor inteiro maior que 48,04).

Para revisar, veja Juro Composto e o número de Euler e Propriedades de Logaritmos.

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Questão M05: Quocientes por potências de 2

Enunciado

Considere o quociente $(k_n) = \dfrac{n}{2^b}$, em que $n, b \in \mathbb{N}^*$.

a) Para $b = 3$, $(k_n)$ forma uma progressão. Indique se a progressão formada é aritmética ou geométrica e forneça o valor da razão.

b) Se $n$ é um número par e $b \le 3$, qual é o número máximo de casas decimais de $k_n$?

c) Qual é o menor $n$, em função de $b$, tal que $k_1 + k_2 + \cdots + k_n$ é um número inteiro?

Resolução

a) Para $b = 3$, $k_n = \dfrac{n}{8}$:

$$(k_n) = \left(\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \ldots\right)$$

A diferença entre termos consecutivos é sempre $\frac{n+1}{8} - \frac{n}{8} = \frac{1}{8}$. (Não é PG: $\frac{2/8}{1/8} = 2$, mas $\frac{3/8}{2/8} = 1{,}5$.)

Resposta (a): progressão aritmética de razão $\frac{1}{8}$.

b) Escreva o $n$ par como $n = 2a$, com $a \in \mathbb{N}^*$.

  • $b = 1$: $k_n = \dfrac{2a}{2} = a$, inteiro: nenhuma casa decimal.
  • $b = 2$: $k_n = \dfrac{2a}{4} = \dfrac{a}{2}$: inteiro ou termina em ,5: no máximo 1 casa.
  • $b = 3$: $k_n = \dfrac{2a}{8} = \dfrac{a}{4}$: os restos possíveis na divisão por 4 dão finais ,00, ,25, ,5 ou ,75: no máximo 2 casas (por exemplo, $n = 2$ dá $k_2 = 0{,}25$).

Resposta (b): 2 casas decimais.

c) 1. A soma. Pela soma dos $n$ primeiros naturais:

$$k_1 + k_2 + \cdots + k_n = \frac{1 + 2 + \cdots + n}{2^b} = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{2^b} = \frac{n(n+1)}{2^{b+1}}$$

2. Quando é inteira. Precisamos que $2^{b+1}$ divida $n(n+1)$. Como $n$ e $n+1$ são consecutivos, um deles é ímpar e não tem fator 2. Então todo o fator $2^{b+1}$ tem de estar no número par, que precisa ser múltiplo de $2^{b+1}$.

3. O menor $n$. O menor múltiplo positivo de $2^{b+1}$ é o próprio $2^{b+1}$. Ele pode ser $n$ ou $n + 1$; o menor $n$ vem de $n + 1 = 2^{b+1}$:

$$n = 2^{b+1} - 1$$

Resposta (c): $n = 2^{b+1} - 1$.

Conferência: para $b = 1$, a fórmula dá $n = 3$: $\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 3$ (inteiro), enquanto $n = 1$ e $n = 2$ dão $0{,}5$ e $1{,}5$. Para $b = 2$, dá $n = 7$: $\frac{7 \cdot 8}{8} = 7$, e nenhum $n$ de 1 a 6 funciona (verificado numericamente).

Para revisar, veja Progressão Aritmética.

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Questão M06: Geometria em uma escultura

Enunciado

A partir do recorte de um quadrado cujo lado mede 10 m, um artista plástico fez uma obra em metal representada na Figura 1, cuja planificação é mostrada na Figura 2.

Observe as Figuras 1 e 2 para responder:

a) Supondo que a medida da área da sombra externa da escultura, representada pelo triângulo DMC, seja o dobro da medida da área do triângulo DAC, qual é a medida do ângulo α, indicado na Figura 1?

b) Supondo que a medida da área do triângulo DMC seja $k$ vezes a medida da área do triângulo DAC, determine o valor de $k$ em função de α.

c) Qual é a medida da projeção ortogonal do segmento AB no solo, supondo que o ângulo desse segmento em relação ao solo seja 60°?

Note e adote:

  • $\text{sen}(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
  • $\cos(60°) = \frac{1}{2}$

Resolução

Lendo a planificação (Figura 2). O quadrado tem lado 10 m. D e C são dois vértices do mesmo lado, então $DC = 10$ m. O ponto A é o centro do quadrado (encontro das diagonais, que são perpendiculares), e B é o ponto médio do lado oposto a DC, então $AB = 5$ m.

Área do triângulo DAC. As diagonais dividem o quadrado em 4 triângulos iguais, então

$$\text{Área}(DAC) = \frac{10^2}{4} = 25 \text{ m}^2$$

(Ou: base $DC = 10$ e altura igual à distância de A até DC, que é 5: $\frac{10 \cdot 5}{2} = 25$.)

O triângulo DMC (Figura 1). Ele está no solo e tem ângulo reto em D, com catetos $MD$ e $DC = 10$. Logo

$$\text{Área}(DMC) = \frac{MD \cdot 10}{2} = 5 \cdot MD \qquad \text{e} \qquad \tan\alpha = \frac{MD}{DC} = \frac{MD}{10}$$

a) A área de DMC é o dobro de 25, ou seja, 50:

$$5 \cdot MD = 50 \quad\Rightarrow\quad MD = 10$$$$\tan\alpha = \frac{10}{10} = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 45°$$

(O triângulo DMC é retângulo isósceles, com catetos iguais a 10.)

Resposta (a): α = 45°.

b) Agora $5 \cdot MD = 25k$, então $MD = 5k$. Daí

$$\tan\alpha = \frac{5k}{10} = \frac{k}{2} \quad\Rightarrow\quad k = 2\tan\alpha$$

Resposta (b): $k = 2\tan\alpha$.

Conferência: com $\alpha = 45°$, $k = 2 \cdot 1 = 2$, o dobro do item (a) ✔.

c) O segmento AB mede 5 m e faz 60° com o solo. A projeção ortogonal $p$ é o cateto adjacente ao ângulo de 60° no triângulo retângulo formado por AB, sua projeção e a vertical:

$$p = AB \cdot \cos 60° = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2{,}5 \text{ m}$$

Resposta (c): 2,5 m.

Cuidado: usar o seno no item (c) dá $5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33$ m, que é a altura do ponto mais alto de AB em relação ao ponto mais baixo, não a projeção no solo.

Para revisar, veja Triângulos Retângulos.

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