O capítulo 1 contou como Euler, em 1734, inventou o $f(x)$ e como a função virou uma frase com um buraco (Euler e as funções). Esse texto olha para os modos de nomear uma função, e para as confusões que cada um traz.

A função e o seu valor

Compare duas frases:

  • “a função $f$ é crescente”;
  • “$f(x)$ é positivo para $x>0$”.

Na primeira, $f$ é a função inteira, a regra, o objeto que se pode derivar, compor, desenhar. Na segunda, $f(x)$ é um número: o valor que a função dá quando a entrada é $x$. A diferença é a mesma que entre “a calculadora” e “o número que aparece no visor”.

Na prática, todo mundo escreve “a função $f(x)=x^2$”, e quase nunca há problema. Mas há casos em que a distinção importa. A derivada da função $f$ é outra função, $f'$, e $f'(3)=2\cdot3=6$. Quem calcula primeiro $f(3)=9$ e depois “deriva o $9$” obtém $0$, porque a derivada de uma constante é zero. O erro está na ordem: derivou-se um número, o valor $f(3)$, e não a função $f$.

Três maneiras de escrever

Há pelo menos três notações para a mesma função “elevar ao quadrado”:

Notação Leitura De onde vem
$f(x)=x^2$ o valor de $f$ em $x$ é $x^2$ Euler, 1734
$f:x\mapsto x^2$ $f$ leva cada $x$ em $x^2$ difundida pelo grupo Bourbaki, no século XX
$\lambda x.\,x^2$ a função que, recebendo $x$, devolve $x^2$ Alonzo Church, década de 1930

A seta $\mapsto$ tem uma vantagem: mostra a função como um movimento de uma entrada para uma saída, sem dar a impressão de que $x$ é um número em particular. O $\lambda$ de Church vai além: dá à função um nome que não precisa de nome. A expressão $\lambda x.\,x^2$ é a própria função, assim como $5$ é o próprio número. É dessa ideia que nasceram as linguagens de programação funcionais, nas quais se escreve, por exemplo, lambda x: x**2.

Compor: da direita para a esquerda

A composição de duas funções se escreve $f\circ g$ e se lê “$f$ depois de $g$”:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

A ordem da escrita é a contrária da ordem das operações: aplica-se primeiro o $g$, que está à direita. Com $f(x)=x^2$ e $g(x)=x+1$:

$$(f\circ g)(x)=(x+1)^2,\qquad(g\circ f)(x)=x^2+1.$$

São funções diferentes. Como as simetrias do triângulo de Galois, as funções não comutam, e a notação precisa guardar a ordem.

O expoente que muda de sentido

A trigonometria guardou uma convenção estranha. Escrevemos

$$\operatorname{sen}^2x=(\operatorname{sen}x)^2,$$

e o expoente quer dizer “elevar o valor ao quadrado”. Mas, desde que o astrônomo inglês John Herschel propôs a notação em 1813,

$$\operatorname{sen}^{-1}x=\operatorname{arcsen}x,$$

e o expoente $-1$ quer dizer “a função inversa”, não $\frac1{\operatorname{sen}x}$. O mesmo lugar, acima e à direita do nome da função, carrega duas regras diferentes, e só a memória diz qual vale. É um caso claro de notação que sugere o passo errado: quem aplica a regra dos expoentes a $\operatorname{sen}^{-1}$ obtém uma resposta falsa.

Exercício: o que vai no buraco?

Com $f(x)=x^2$, calcule $f(x+1)$, $f(x)+1$, $f(2x)$ e $2f(x)$. Pondo a entrada inteira no buraco: $f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1$; $f(x)+1=x^2+1$; $f(2x)=(2x)^2=4x^2$; $2f(x)=2x^2$. As quatro expressões são diferentes. A posição do $+1$ e do $2$, dentro ou fora dos parênteses, decide se eles mexem na entrada ou na saída.

Exercício: sen⁻¹ e 1/sen

Calcule $\operatorname{sen}^{-1}\frac12$ e $\frac1{\operatorname{sen}(\pi/6)}$. O primeiro é o ângulo cujo seno é $\frac12$: $\frac\pi6$, ou $30°$. O segundo é $\frac1{1/2}=2$. A notação parecida esconde dois objetos completamente diferentes: um ângulo e um número que nem é seno de ângulo nenhum, porque é maior que $1$.

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