OBMEP 2018 - Segunda Fase

Neste post vamos resolver as questões da OBMEP 2018 com comentários.

Questão 1

Uma máquina maluca transforma duas frutas em uma fruta, da seguinte maneira:

• Transforma duas maçãs em uma laranja;
• Transforma duas laranjas em uma laranja;
• Transforma uma maçã e uma laranja em uma maçã.

Q1 Item a

a) Quantas vezes a máquina deve ser usada para transformar três maçãs em uma maçã?

Dados: Inicialmente temos 3 maçãs.

Passo 1

• Colocamos duas dessas maçãs na máquina
• Transforma em uma laranja.
• Resultado final:
  • 1 maçã e 1 laranja.

Passo 2

• Colocamos na máquina:
  • uma maçã;
  • uma laranja.
• Resultado: uma maçã.

Resposta: A máquina deve ser usada duas vezes.

Q1 Item b

b) Explique como usar essa máquina algumas vezes para transformar três maçãs e quatro laranjas em uma maçã.

Passo 1	Passo 2	Passo 3	Passo 4

Passo 1:

• 2 laranjas transforma em 1 laranja;
• 2 laranjas transforma em 1 laranja;
• Sobra 2 laranjas;

Passo 2:

• 2 maçâs transformam em 1 laranja e 1 maçã;
• 1 maçâ não faz nada;
• Sobra 1 laranja e 1 maçã;

Passo 3:

• Sobra do passo 1:
  • 2 laranjas transforma em 1 laranja;
• 1 maçâ não faz nada;
• 1 laranja não faz nada;

Passo 4:

• Sobra do passo 3:
  • 3 laranjas e 1 maçã;
    • 2 laranjas transforma em 1 laranja;
• 1 laranjas e 1 maçã transforma em 1 maçã;

Portanto, sobra 1 maçã.

Q1 Item c

c) Começando com 2018 laranjas e 517 maçãs, a máquina foi usada repetidamente até sobrar apenas uma fruta. Explique por que essa fruta só pode ser uma maçã.

Este é um exercício sobre a regra de sinais.

Sejam

• $m=$maçã$=-1$ e
• $l=$laranja$=+1$

Com isso, temos o algoritmo:

• Passo 1 (laranjas):

• Passo 2 (maçãs):
  • 517 maçãs ímpar $= (-1)^{516} \times (-1) $
  • 516 maçãs (máquina) e 1 maçã (sobra)

• Passso 3 (maçã, laranja)

Questão 2

Joãozinho comprou um álbum em que figurinhas numeradas devem ser coladas em ordem crescente, começando na página 2 e terminando na página 61. Nas páginas pares devem ser coladas 5 figurinhas e nas ímpares, 6 figurinhas.

Q2 Item a

a) No total, quantas figurinhas devem ser coladas no álbum?

As páginas pares do álbum são dadas pelos conjuntos:

Em cada página par temos um equivalente ímpar. Desta forma, basta calcular o número de páginas pares:

Para as figurinhas coladas temos:

Portanto, o total é $150+180=330$ figurinhas.

Q2 Item b

b) Em qual página deve ser colada a figurinha de número 196?

Em cada conjunto de duas páginas temos:

• par 5 figurinhas
• ímpar 6 figurinhas
• total 11 figurinhas

Agora vamos aplicar a procura de páginas. Para ist0 vamos calcular uma divisão:

O resto desta divisão é 9.

Como caimos página ímpar temos:

• cabem 6 figurinhas na página ímpar;
• vamos para página 18 que é par;
• posição 4 da página 18.

Mas vale lembrar que:

• o álbum começa na página 2
• calculamos para pares de páginas então o total de páginas é:
  • $18\times 2 = 36$ páginas
  • começa na página 2 então, $36+1=37$ páginas.

Portanto, a figurinha 196 vai na página 37.

Q2 Item c

c) Para completar seu álbum, Joãozinho comprou muitos pacotes de figurinhas. Após colar a última figurinha que faltava, o número de figurinhas repetidas era oito vezes o número de figurinhas coladas.

Se o álbum custou 20 reais e cada pacote com 5 figurinhas custou 2 reais, quanto Joãozinho gastou para ter seu álbum completo?

Joãozinho tem a seguinte situação:

• comprou 330 figurinhas (letra a) que foram coladas e
• (Enunciado): 8 vezes 330 figurinhas coladas que vieram repetidas.
  • Ele comprou $\underbrace{(8+1)}_{\text{8 repetidas e 1 colada} } \times 330 = 9\times 330 = 2970$ figurinhas,
  • Total de pacotes $2970 \div 5 = 594$ pacotes, pois cada pacote têm 5 figurinhas.
• Como cada pacote custou 2 reais:
  • Gastou $594\text{ pacotes } \times 2\text{ reais} = 1188$ reais na compra das figurinhas.
  • Álbum custou 20 reais,

Joãozinho gastou

• $20 + 1188 = 1208$ reais para completar o álbum.

Questão 3

O sapinho da figura pula de uma pedra para uma pedra vizinha, dando voltas em torno do lago. Por exemplo, se ele pular duas vezes a partir da pedra A, no sentido horário, ele vai parar na pedra C.

Q3 Item a

a) Partindo da pedra A, em qual pedra o sapinho vai parar após pular 15 vezes no sentido horário?

Da figura e enunciado temos:

• Início pedra A
• sapo chega novamente na pedra A após 9 pulos
• sapo seguirá com mais 6 pulos
• o sapo para na pedra G
  • A até A 9 pulos
  • A até G 6 pulos.
  • A até G (9+6) =15 pulos

Q3 Item b

b) Novamente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 2018 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8. Em qual pedra ele vai parar?

Na figura notamos que:

• 8 pulos sentido horário ($A \longrightarrow I$)
• 8 pulos sentido anti-horário ($I \longrightarrow A$)
• 16 pulos total

Após 2018 pulos temos:

• $2018 \div 16 = 126$ com resto 2.
• após vai e vem dos 126 pulos vai parar na pedra A
• sapinho vai parar na pedra C.
  • como resto da divisão é 2, vai de A até C.

Q3 Item c

c) Finalmente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 810 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8 ou um múltiplo de 12. Em qual pedra ele vai parar?

Passos do sapo:

• Início pedra A;
• 8 pulos até a pedra I;
• Muda de direção
  • pula 4 pedras ($8 + 4 = 12$);
  • chega na pedra E;
• Muda de direção
  • pula 4 pedras ($12 + 4 = 16$);
  • chega novamente na pedra I;
• Muda de direção
  • pula 8 pedras ($16 + 8 = 24$);
  • retorna a pedra A;
• Recomeça novamente todo o percurso
  • sempre retorna à pedra A após 24 pulos.

Agora vamos calcular a rotina.

Passos:

• Como $810 \div 24 = 33$ com resto 18,
• Após $24 \times 33 = 792$ pulos chega na pedra A
• Resta pular ainda mais 18 vezes.

Retante de pedras:

• Início em A
• Resto $18 = 8 + 4 + 4 + 2$
  • 8 pedras até pedra I;
  • Muda direção 4 pulos até a pedra E;
  • Muda direção 4 pulos volta a pedra I;
  • Muda direção, resta 2 pulos, de I para pedra G.

Questão 4

Marília tem sete peças de madeira, como ilustrado abaixo.

Ela brinca de cobrir todas as casas de tabuleiros retangulares com essas peças, sem colocar uma peça sobre outra. Cada peça deve cobrir exatamente 4 casas do tabuleiro.

Veja como Marília cobriu um tabuleiro 2 x 6:

Q4 Item a

a) Cubra o tabuleiro abaixo usando três peças de Marília.

Existem muitas possibilidades por exemplo:

Q4 Item b

b) Qual peça não cobre o mesmo número de casas brancas e casas cinzas de um tabuleiro?

Sejam os números dentro das casas da peça o número de vizinhos.

• 1 tem 1 vizinho
• 2 tem 2 vizinhos
• 3 tem 3 vizinhos

A única peça que têm mais de 2 vizinhos é a peça em T, pois ela tem uma casa com 3 vizinhos.

Portanto, a peça T não cobre o mesmo número de casas brancas e casas cinzas.

Q4 Item c

c) Explique por que Marília nunca irá conseguir cobrir o tabuleiro abaixo.

O tabuleiro completo têm:

• 28 casas;
  • 14 brancas;
  • 14 cinzas;

Da letra b vimos que a peça em T é um problema para cobrir tabuleiros.

Desta forma, vamos supor um absurdo, ou seja, não vamos usar a peça em T.

Assim, temos a seuinte situação:

• 6 peças
• Cobertura do tabuleiro
  • $6\times 4 =24$ casas cobertas
• Resta:
  • 2 casas brancas e 2 casas pretas ou
  • 2 casas pretas e 2 casas brancas

Sobrou apenas a peça em T que têm:

• 3 casas pretas e 1 branca ou
• 3 casas brancas e 1 preta

Desta forma, impossível cobrir as casas que restaram.

Questão 5

Um “matemágico” testa uma nova mágica com Helena. Ele diz a ela:

• pense em dois números de 1 a 9, um par e um ímpar;
• calcule a soma dos números em que você pensou;
• calcule agora a diferença entre o maior e o menor dos números em que você pensou;
• multiplique a soma pela diferença;
• diga qual foi o resultado dessa multiplicação e eu descobrirei quais são os números em que você pensou.

Q5 Item a

a) Se Helena pensar nos números 4 e 9, que número ela vai dizer ao matemágico?

De acordo com enunciado:

• 4 + 9 = 13 e
• 9 – 4 = 5.

Helena vai explicar da seguinte forma:

• multiplicação de 13 e 5
• o mágico vai escutar o número 65.

Q5 Item b

b) Se Helena disser 21, em quais números ela pensou?

O número 21 pode ser escrito como produto de dois números naturais de duas maneiras.

• A primeira é 1 x 21
  • neste caso não dá, não temos dois números entre 1 e 9 cuja soma seja 21.
• A segunda é 3 x 7.
  • Se escolhermos 3 para a soma:
    • temos somente 1 e 2 como escolhas;
    • a diferença é 1;
    • não dá.
  • Se escolhermos 3 para a diferença:
    • 3 deverá ser a diferença dos números procurados e
    • a soma desses números deve ser 7.

Neste caso, as possibilidades para a soma 7 são as seguintes:

• 1 e 6;
  • $6 - 1 = 5 \neq 3$
• 2 e 5;
  • $5 - 2 = 3$
• 3 e 4;
  • $4 - 3 = 1 \neq 3$

Portanto, Helena pensou nos números 2 e 5.

Q5 Item c

c) Explique por que Helena sempre irá dizer um número ímpar.

Regras descritas pelo “matemágico”:

• Helena sempre deve pensar em um número par e um número ímpar.
  • A soma ou a diferença dos dois números (par, ímpar) é sempre um número ímpar (ver o post números pares e ímpares);
  • O produto de dois números ímpares é um número ímpar;
  • Helena nunca dirá um número par.

Q5 Item d

d) Explique por que, se Helena disser 15, o matemágico ficará em dúvida sobre quais seriam os números em que ela pensou.

Se Helena disser 15, as possibilidades:

• para o produto da soma e da diferença dos números pensados são 1 x 15 ou 3 x 5
  • Na primeira possibilidade (1x15)
    • a soma dos números pensados deverá ser 15 e a diferença 1;
    • para a soma ser 15,
      • os números pensados podem ser 6 e 9 ou 7 e 8.
      • Como 9 – 6 = 3 e 8 – 7 = 1,
      • os números pensados por Helena são 7 e 8.
  • Na segunda possibilidade (3 x 5)
    • a soma dos números pensados deverá ser soma 5 e a diferença 3,
      • os números podem ser 2 e 3 ou 1 e 4.
      • Neste caso, como 3 – 2 = 1 e 4 – 1 = 3,
      • os números pensados por Helena são 1 e 4.

Diante das duas possibilidades de resposta (7 e 8 ou 1 e 4), o “matemágico” não terá certeza sobre os números em que Helena pensou.

Questão 6

Números naturais devem ser escritos dentro de cada círculo vazio da figura, de modo que a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos seja sempre a mesma.

Q6 Item a

a) Qual número deverá ser escrito no círculo vermelho?

Enunciado,

• a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos é sempre a mesma.
• Seja x um número natural qualquer,
• nos dois círculos entre os círculos em que estão escritos os números 2 e 3.

O próximo passo é:

• Após o 3 pegar o primeiro número da sequência que é o 2
• Seguido por X
• Portanto o número no círculo vermelho é o 3.

Q6 Item b

b) Mostre que a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

Ao completarmos os campos:

• 7 vezes o número 2 (contagem de 2);
• 7 vezes o número 3 (contagem de 3);
• 7 vezes o número x (contagem de x);
• Logo a soma de todos os números é um múltiplo de 7.

Q6 Item c

c) Para que a soma de todos os números escritos seja 63, qual número deverá ser escrito no círculo azul?

Do item b) temos que o círculo azul é o $x$.

A soma de todos os números escritos é igual a 63