*Banca, trapeza, mensa*: a mesa dos primeiros banqueiros, entre 1450 e 1650. Daí vêm as palavras banco e bancário.
Banca, trapeza, mensa: a mesa dos primeiros banqueiros, entre 1450 e 1650. Daí vêm as palavras banco e bancário.Acervo Euler’s Eyes

Antes de chegar a Euler, o número $e$ passou pelos bancos. O vocabulário do dinheiro vem do latim: depositum (o que se pôs, de ponere), creditum (o que se confiou, de credere, acreditar) e juro (de jus, juris, o direito).

Imagine R$ 100 aplicados a **100% ao ano**. Se o banco paga uma vez só, no fim do ano, você recebe R$ 200. Mas e se ele dividir o ano em períodos e pagar juros sobre juros?

Períodos no ano Taxa por período Conta No fim do ano
1 (anual) 100% $(1 + \frac{1}{1})^1 = 2$ R$ 200,00
2 (semestral) 50% $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2{,}25$ R$ 225,00
4 (trimestral) 25% $(1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2{,}4414$ R$ 244,14
12 (mensal) ≈ 8,33% $(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2{,}6130$ R$ 261,30
365 (diária) ≈ 0,27% $(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2{,}7146$ R$ 271,46

Com $n$ períodos, o capital $C_0$ vira

$$C_n = C_0\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$$
Os degraus são os pagamentos de juros. Quanto mais períodos, mais os degraus se aproximam da curva tracejada, e o valor final encosta em 100 · e.

O valor final cresce, mas não sem limite: ele se aproxima de um número que não é inteiro nem fração.

$$\begin{aligned} \left(1 + \tfrac{1}{10}\right)^{10} &= 2{,}5937\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{100}\right)^{100} &= 2{,}7048\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{1000}\right)^{1000} &= 2{,}7169\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{10\,000}\right)^{10\,000} &= 2{,}7181\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{100\,000}\right)^{100\,000} &= 2{,}7182\ldots \end{aligned}$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e = 2{,}718281828\ldots$$
“1 sobre infinito, elevado a infinito”: o jeito informal de lembrar o limite que dá o número e.
“1 sobre infinito, elevado a infinito”: o jeito informal de lembrar o limite que dá o número e.Acervo Euler’s Eyes
John Napier (1550–1617), o inventor dos logaritmos.
John Napier (1550–1617), o inventor dos logaritmos.Acervo Euler’s Eyes

Jakob Bernoulli já tinha estudado esse limite em 1683, sem dar nome a ele. Euler o batizou de $e$ e mostrou que ele também é a soma de uma série:

$$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

Na Introductio (1748), Euler calculou as 23 primeiras casas decimais de $e$.

Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (Escreva-se e para o número cujo logaritmo é a unidade.)

— Leonhard Euler, manuscrito de 1727–1728

O caminho até a letra $e$:

  1. 1614
    John Napier publica a Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, a primeira tábua de logaritmos.
  2. 1618
    Um apêndice da tradução inglesa da obra de Napier, feita por Edward Wright, traz logaritmos na base que hoje chamamos de $e$.
  3. 1647
    Grégoire de Saint-Vincent mostra que a área sob a hipérbole cresce como um logaritmo.
  4. 1668
    Nicolau Mercator dá o nome logarithmus naturalis (logaritmo natural) na Logarithmotechnia.
  5. 1683
    Jakob Bernoulli estuda o limite dos juros compostos.
  6. 1727
    Euler usa a letra $e$ num manuscrito, publicado só em 1862.
  7. 1748
    Na Introductio, Euler escreve $e$ como série e calcula 23 casas decimais.
O número e e o logaritmo na base e, que escrevemos ln.
O número e e o logaritmo na base e, que escrevemos ln.Acervo Euler’s Eyes

Por que “natural”? Porque é o logaritmo com a derivada mais simples. Usando o limite que define $e$ (com $n = x/\Delta x$, que vai para infinito quando $\Delta x$ vai para zero):

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\ln x &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\ln(x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{\Delta x}\ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) = \frac{1}{x}\lim_{n \to \infty}\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \\ &= \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x}. \end{aligned}$$

E daí sai a propriedade mais famosa de $e^x$. Como $\ln(e^x) = x$, derivando os dois lados:

$$\frac{1}{e^x}\cdot\left(e^x\right)' = 1 \quad\Longrightarrow\quad \left(e^x\right)' = e^x.$$

$e^x$ é a função que é igual à própria derivada. Essa propriedade é a chave da descoberta 4, sobre as equações diferenciais.

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