No livro interativo: capítulo I completo, com todas as demonstrações e exercícios.

Comece com uma volta

Fique de frente para uma parede e gire até olhar para a parede oposta. Você fez meia-volta. Mais meia-volta e está na posição inicial. Um ângulo mede a abertura entre duas semirretas de mesma origem. Também podemos acompanhar o giro que leva uma delas até a outra.

Pegue um disco de papel. Marque o centro O e dois pontos A e B na borda. Os segmentos OA e OB são raios. O caminho curvo de A até B é um arco. Existem dois caminhos pela borda entre pontos distintos: diga qual deles está usando. O segmento reto AB é uma corda, diferente do arco.

Um quarto de volta no círculo: arco, raios e ângulo de 90 graus.

Graus: repartir a volta

Uma volta tem $360°$. Meia-volta tem $180°$ e um quarto tem $90°$. Um ângulo entre $0°$ e $90°$ é agudo; entre $90°$ e $180°$, obtuso. O ângulo de $90°$ é reto.

Cada grau tem 60 minutos de arco, e cada minuto tem 60 segundos de arco. São unidades de ângulo: $1°=60'$ e $1'=60''$. Por exemplo, $12°30'=12{,}5°$, pois $30/60=1/2$.

Demonstração: medir o arco com barbante

Use uma circunferência de raio $r$ e comprimento $2\pi r$. Aqui $\pi$ é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro; aproximadamente $3{,}14159$.

Um arco que ocupa a fração $\alpha/360°$ da volta tem comprimento

$$s=\frac{\alpha}{360°}\,2\pi r.$$

Existe outra unidade: um radiano é o ângulo central que recorta um arco de comprimento igual ao raio. A medida em radianos é $\theta=s/r$. Como uma volta tem comprimento $2\pi r$, ela mede $2\pi$ radianos. Portanto:

$$180°=\pi\text{ rad},\qquad s=r\theta.$$

Na última fórmula, $\theta$ precisa estar em radianos. Uma roda de raio 3 cm que gira $60°=\pi/3$ rad faz um ponto de sua borda percorrer $3\cdot\pi/3=\pi$ cm. Não confundimos a medida do ângulo com o comprimento do arco.

A volta com endereço

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, centrada na origem do plano. Começamos em $(1,0)$. Giros positivos seguem o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio; negativos seguem o sentido dos ponteiros.

Os eixos repartem o ciclo em quatro quadrantes, numerados no sentido positivo. Os pontos dos eixos não pertencem a nenhum quadrante. $30°$ e $390°$ chegam ao mesmo ponto, pois $390°=30°+360°$. Em geral, $\alpha+360°k$, para qualquer inteiro $k$, representa a mesma posição final. O giro pode ser diferente.

No dia a dia

  • Bicicleta. Uma roda de cerca de 74 cm de diâmetro avança $\pi \cdot 0{,}74 \approx 2{,}3$ m a cada volta completa.
  • Pizza. Cortar uma pizza em 8 fatias iguais dá $360^\circ \div 8 = 45^\circ$ para cada fatia.
  • Volante. “Uma volta e meia no volante” são $540^\circ$ de giro.
Fatias iguais de pizza: o ângulo de cada fatia, em graus e em radianos, e o comprimento da borda.

Experimente

Dobre o disco em quatro partes e depois em oito. Cada oitavo mede $360°/8=45°$. Percorra três partes com o dedo: $135°$. Antes de usar o transferidor, estime se um giro é menor ou maior que um quarto de volta.

Exercícios

Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.

1. Quantos graus há em três quartos de volta?

Ver resolução 1

$3\cdot360°/4=270°$.

2. Converta $150°$ para radianos.

Ver resolução 2

$150\cdot\pi/180=5\pi/6$ rad.

3. Converta $3\pi/4$ rad para graus.

Ver resolução 3

$(3\pi/4)\cdot180°/\pi=135°$.

4. Um círculo de raio 8 cm tem um arco de $45°$. Qual é o comprimento do arco?

Ver resolução 4

$45°=\pi/4$ rad. Logo $s=8\cdot\pi/4=2\pi$ cm.

5. Em qual quadrante termina o giro de $-60°$?

Ver resolução 5

No quarto: $-60°+360°=300°$.

6. Some $18°45\prime$ e $7°30\prime$.

Ver resolução 6

$25°75\prime=26°15\prime$, porque 60 minutos formam um grau.

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