Canhões e artilheiros numa gravura antiga.
Canhões e artilheiros numa gravura antiga.Acervo Euler’s Eyes

Descartes conheceu a guerra de perto. Em 1618 serviu como voluntário no exército de Maurício de Nassau e, segundo seu primeiro biógrafo, Adrien Baillet, esteve em 1628 no cerco de La Rochelle, conduzido pelo cardeal Richelieu. Nos campos de batalha, um problema prático ocupava os artilheiros: com que ângulo inclinar o canhão para acertar um alvo a certa distância?

É uma relação entre dois números: a distância do alvo (o que o artilheiro “ouve”) e o ângulo do canhão (o que ele “fala”). Galileu mostrou em 1638 que, sem a resistência do ar, a bala descreve uma parábola, e o alcance $R$ depende do ângulo $\theta$ e da velocidade $v$ de saída:

$$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$
Ângulos diferentes, trajetórias diferentes.
Ângulos diferentes, trajetórias diferentes.Acervo Euler’s Eyes

Com uma bala saindo a 100 m/s:

Ângulo 15° 30° 45° 60° 75°
Alcance 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m
Escolha o ângulo e dispare. O alcance é máximo a 45°, e ângulos que somam 90° caem no mesmo lugar.

Repare em duas coisas. O alcance é uma função do ângulo: cada ângulo dá um único alcance. Mas o caminho contrário não funciona assim: para acertar um alvo a 900 metros servem dois ângulos, cerca de 30,9° e 59,1°. Na linguagem de hoje, a função não é injetiva.

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