Um elefante e uma mulher de salto alto: quem afunda mais num chão de terra mole? Pode ser a mulher. O elefante pesa cinquenta vezes mais, mas o peso dele se espalha por quatro patas largas. O da mulher se concentra na ponta fina do salto.

O que afunda o chão não é a força, e sim a pressão: a força dividida pela área em que ela se apoia.

$$p=\frac FA.$$

A unidade de pressão é o pascal: $1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$, uma força de um newton espalhada num metro quadrado. É uma pressão minúscula; a atmosfera, ao nível do mar, exerce cerca de $100\,000$ Pa.

O tratado dos líquidos

Por volta de 1653, Pascal escreveu o Tratado do equilíbrio dos líquidos, publicado em 1663, depois da sua morte. Nele está a regra que hoje chamamos de princípio de Pascal:

Um aumento de pressão aplicado num ponto de um líquido parado e confinado se transmite igualmente a todos os pontos do líquido e às paredes do recipiente.

Aperte uma bisnaga de pasta de dente no meio e a pasta sai pela ponta: a pressão do seu dedo chegou lá. Encha um balão de água, fure-o em vários lugares e aperte: a água esguicha por todos os furos, para todos os lados.

O barril que estourou

Conta-se que Pascal fez uma demonstração famosa. Pegou um barril cheio de água, bem fechado, e encaixou na tampa um tubo fino e muito alto, de uns 10 metros. Subiu numa sacada e despejou água no tubo. Com pouco mais de um litro, o barril estourou.

Não sabemos se a cena aconteceu exatamente assim, mas as contas mostram que poderia. A pressão no fundo de uma coluna de líquido de altura $h$ é

$$p=\rho gh,$$

com $\rho$ a densidade do líquido e $g\approx9{,}8\ \text{m/s}^2$. Para 10 metros de água, com $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$,

$$p=1000\cdot9{,}8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$

O que importa é a altura da coluna, não a quantidade de água. Se o tubo tiver $1\ \text{cm}^2$ de seção, 10 metros de água são só $1$ litro. Mas os $98\,000$ Pa se transmitem a toda a tampa do barril. Se a tampa tiver $0{,}2\ \text{m}^2$, a força sobre ela é

$$F=pA=98\,000\cdot0{,}2=19\,600\ \text{N},$$

o peso de duas toneladas. Um litro de água num tubo fino empurra a tampa como um carro em cima dela.

A prensa hidráulica

Pascal percebeu que podia usar o princípio para multiplicar forças. Imagine dois cilindros cheios de água, ligados por baixo, cada um fechado por um êmbolo. Um é estreito, o outro é largo. Empurrando o êmbolo estreito com uma força $F_1$, a pressão aumenta $F_1/A_1$, e esse mesmo aumento chega ao êmbolo largo:

$$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$

Um homem que empurre o êmbolo pequeno igualará a força de cem homens que empurrem o êmbolo cem vezes mais largo.

— Blaise Pascal, Tratado do equilíbrio dos líquidos

Se a área pequena é $2\ \text{cm}^2$ e a grande é $8\ \text{cm}^2$, a razão é $4$. Uma força de $50$ N no êmbolo pequeno vira $200$ N no grande. É assim que funciona o macaco hidráulico que levanta um carro, o freio que para o carro com a pressão de um pé, e as escavadeiras.

Modelo ideal: êmbolos na mesma altura, área menor de 2 cm² e fluido incompressível.

Mude a força e a razão entre as áreas. A força no êmbolo grande aumenta, mas o deslocamento dele diminui na mesma proporção.

Não existe almoço grátis

Se a prensa multiplica a força por 4, ela não estaria criando energia? Não. Quando o êmbolo pequeno desce uma distância $d_1$, ele empurra um volume $A_1d_1$ de água. Esse mesmo volume vai para o cilindro largo, que sobe só $d_2$:

$$A_1d_1=A_2d_2\quad\Longrightarrow\quad d_2=d_1\cdot\frac{A_1}{A_2}.$$

A força fica 4 vezes maior, mas o êmbolo grande anda 4 vezes menos. O trabalho, força vezes distância, é o mesmo dos dois lados:

$$F_1d_1=F_2d_2.$$

Para levantar um carro 10 cm com o macaco, você bombeia muitas vezes, empurrando pouco, por um caminho longo. Pascal já tinha notado isso: a prensa é uma alavanca feita de água.

Exercício: a razão entre as áreas é 5 e o êmbolo pequeno desce 10 cm. Quanto sobe o grande?

Os volumes são iguais, então $d_2=\dfrac{10}{5}=2$ cm. Em compensação, a força no êmbolo grande é 5 vezes maior.

Exercício: qual é a pressão da água a 3 metros de profundidade numa piscina?

O aumento de pressão causado pela água é $\rho gh=1000\cdot9{,}8\cdot3=29\,400$ Pa, cerca de 30% da pressão atmosférica. Somando a atmosfera, a pressão total fica perto de $130\,000$ Pa. É isso que se sente nos ouvidos ao mergulhar.

Fontes: biografia de Pascal, MacTutor · Traités de l’équilibre des liqueurs, na Wikisource.

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