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Em 12: os múltiplos começam com 4, 8, 12 e com 6, 12. Por isso, MMC(4, 6) = 12. Esta brincadeira é uma atividade atual, inspirada no estudo dos números.

No post anterior, falamos muito sobre o conjunto dos divisores. Neste post vamos apresentar o conjunto dos múltiplos. A seguir, temos o o livro Os Elementos de Euclides, que contém a definição dos conjuntos dos múltiplos (capítulos VII e IX). Basicamente fala da teoria dos números.

Obra de Euclides.

Em particular trata dos conjuntos dos múltiplos.

Conjunto dos múltiplos

Saltos de 4 e de 6 se encontram pela primeira vez depois do zero em 12.
Liste os encontros: 12, 24, 36… O MMC é o primeiro positivo.

Seja o conjunto dos naturais dado por:

$$\mathbb{N} = \\{0,1,2,3,\dots\\}$$

Tomamos um valor $a$ número natural. O conjunto dos múltiplos é dado por:

$$\mathcal{M}(a) = \\{0~.~a, 1~.~a,2~.~a,3~.~a,\dots\\}$$

Por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 3 é dada por:

$$\mathcal{M}(3) = \\{3, 6, 9, 12, \dots\\}$$

Definição de Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Fatoração de 36 em dois fatores 2 e dois fatores 3.
Para MMC(12, 18), compare 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². Use as maiores potências: 36.

Uma vez visto o conjunto dos múltiplos, podemos definir um mínimo múltiplo comum.

Definição: Dados dois números $a$ e $b$ diferentes de zero, o mínimo múltiplo comum entre eles é o menor número natural que é múltiplo de $a$ e $b$. Pode ser definido também como o encontro entre os conjuntos dos múltiplos de $a$ e dos múltiplos de $b$.

$$\min \\{\mathcal{M}(a)\cap \mathcal{M}(b)\\}$$

Por exemplo, qual o mínimo múltiplo entre 6 e 9?

  • O conjunto dos múltiplos de 6 é: $$\mathcal{M}(6) = \\{ 6, 12, {\color{red}{18} } , 24, \dots \\}$$
  • O conjunto dos múltiplos de 9 é: $$\mathcal{M}(9) = \\{9, {\color{red}{18} }, 27, 36, \dots\\}$$

Desta forma, o mínimo múltiplo comum entre 6 e 9 é 18.

$$\min \\{\mathcal{M}(6)\cap \mathcal{M}(9)\\} = 18$$

Exemplo geométrico de mínimo múltiplo comum

Para mostrar o método de mínimo múltiplo comum, usamos o método de geométrico. Seja $a$ e $b$ números naturais não nulos. Suponhamos que $a=6$ e $b=4$.

Seja um retângulo de lados $a$ e $b$. Um raio de luz atravessa sempre a diagonal um um quadrado da unidade do lado do retângulo. Quando um raio atinge um dos lados, ela é refletida para o lado oposto. A reflexão acaba quando atinge um de seus vétices, como na figura a seguir:

O raio de luz da figura, atravessou 12 quadrados unitários, que é o mesmo que calcular o mínimo múltiplo comum entre 6 e 4.

  • O conjunto dos múltiplos de 6 é: $$\mathcal{M}(6) = \\{ 6, {\color{red}{12} }, 18 , 24, \dots \\}$$
  • O conjunto dos múltiplos de 4 é: $$\mathcal{M}(4) = \\{4, 8 , {\color{red}{12} }, 16, 20, \dots\\}$$

Desta forma, o mínimo múltiplo comum entre 6 e 4 é 12.

$$\min \\{\mathcal{M}(6)\cap \mathcal{M}(4)\\} = 12$$
Dois sapos pulam de tamanhos diferentes. O primeiro ponto onde os dois pisam é o MMC.

IMPA e o MDC

  • Portal Impa: Mínimo Múltiplo Comum
  • Portal Impa: Prorpriedades do Máximo Divisor Comum

Aqui finalizamos o conceito de mínimo múltiplo comum e com isso boa parte da teoria de números naturais. Aguardem novos posts.