Euler's Eyes
2026-09-26
FUVEST 2023 – 2ª fase: Matemática resolvida
Fonte: FUVEST – prova da 2ª fase, 2º dia (questões M01 a M06) e documento de abordagens esperadas.
A 2ª fase da FUVEST 2023 teve dois dias. O 1º dia foi de Português e Redação; no 2º dia, a prova trazia 6 questões de cada disciplina, e a de Matemática vai de M01 a M06. Cada candidato respondeu só as disciplinas da sua carreira (em algumas carreiras, só as primeiras questões de cada disciplina).
A FUVEST não publica gabarito da 2ª fase; as resoluções são nossas. Ela divulgou um documento de “abordagens esperadas” com o caminho que esperava dos candidatos. Cada resolução abaixo foi conferida por um segundo caminho e comparada com esse documento.
Gabarito
| Questão | Assunto | Respostas |
|---|---|---|
| M01 | Funções afins por partes: tarifas de entrega | a) $f_A(x) = 4x + 30$; b) $15 < x < 45$; c) 190 kg e 10 kg, ou 150 kg e 50 kg |
| M02 | Função quadrática | a) $a = 1$, $b = c = 0$; b) $c = 12$; c) $b \leq -5$ ou $b \geq 5$ |
| M03 | Contagem de funções e probabilidade | a) 256; b) 76; c) $\frac{91}{144}$ |
| M04 | Circunferências tangentes e PG | a) 6; b) $\frac{1}{3}$; c) $18\pi$ |
| M05 | Inequações: escada da NBR 9077 | a) $31 \leq L \leq 32$; b) 15 degraus de 16,8 cm por 30,4 cm; c) máx. $\frac{2}{3}$, mín. $\frac{1}{2}$ |
| M06 | Números complexos | a) $b = -2$; b) $z = \frac{3}{2} - 2i$; c) $a < 2$, $a \neq 0$ |
Questão M01: Tarifas de duas empresas de entrega (funções afins)
Enunciado
Duas empresas de entrega de mercadorias, $A$ e $B$, são concorrentes. A empresa $A$ cobra R$ 4,00 por quilo da encomenda e mais R$ 30,00 de taxa fixa. Já a tarifa da empresa $B$ é de R$ 6,00 por quilo, sem taxa fixa, para encomendas de até 30 quilos; para encomendas de mais de 30 quilos, a empresa $B$ cobra R$ 2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R$ 120,00.
a) Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa $A$ em termos do peso $x$ da encomenda.
b) Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa $A$ do que pela empresa $B$?
c) Um cliente solicitou duas encomendas: uma entregue pela empresa $A$, e outra, pela empresa $B$, com peso total de 200 quilos. Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas, sabendo que a tarifa de entrega total foi de R$ 850,00?
Resolução
a) A empresa $A$ cobra 4 reais por quilo mais 30 fixos:
$$f_A(x) = 4x + 30 \quad (x \geq 0)$$Resposta (a): $f_A(x) = 4x + 30$.
b) A tarifa de $B$ é definida por partes:
Vamos resolver $f_A(x) < f_B(x)$ em cada parte.
- Para $0 \leq x \leq 30$: $4x + 30 < 6x \iff 30 < 2x \iff x > 15$. Nesta parte: $15 < x \leq 30$.
- Para $x > 30$: $4x + 30 < 2x + 120 \iff 2x < 90 \iff x < 45$. Nesta parte: $30 < x < 45$.
Juntando as duas partes: $15 < x < 45$.
Nos extremos as tarifas empatam: $f_A(15) = f_B(15) = 90$ e $f_A(45) = f_B(45) = 210$. (O documento de abordagens da FUVEST apresenta o intervalo fechado $[15, 45]$, que inclui esses empates.)
Resposta (b): a empresa $A$ é mais barata para encomendas com peso entre 15 kg e 45 kg ($15 < x < 45$); em 15 kg e 45 kg as duas cobram o mesmo.
c) Seja $x$ o peso enviado pela empresa $B$; então $A$ leva $200 - x$ quilos. Precisamos de
$$f_A(200 - x) + f_B(x) = 850, \qquad f_A(200 - x) = 4(200 - x) + 30 = 830 - 4x.$$- Se $0 \leq x \leq 30$: $830 - 4x + 6x = 850 \iff 2x = 20 \iff x = 10$. Vale, pois $10 \leq 30$.
- Se $x > 30$: $830 - 4x + 2x + 120 = 850 \iff 950 - 2x = 850 \iff x = 50$. Vale, pois $50 > 30$.
Conferência:
| Empresa $A$ | Empresa $B$ | Tarifa de $A$ | Tarifa de $B$ | Total |
|---|---|---|---|---|
| 190 kg | 10 kg | $4 \cdot 190 + 30 = 790$ | $6 \cdot 10 = 60$ | 850 |
| 150 kg | 50 kg | $4 \cdot 150 + 30 = 630$ | $2 \cdot 50 + 120 = 220$ | 850 |
Resposta (c): há duas maneiras: 190 kg pela empresa $A$ e 10 kg pela $B$, ou 150 kg pela empresa $A$ e 50 kg pela $B$.
Atenção: na tabela final do documento de abordagens esperadas da FUVEST, as colunas aparecem trocadas (10 kg e 50 kg para a empresa $A$). Pela própria conta do documento, $x$ é o peso da empresa $B$, e a conferência acima mostra que 10 kg por $A$ e 190 kg por $B$ custariam $70 + 500 = 570$ reais, não 850.
Para revisar, veja Funções de Primeiro Grau.
Questão M02: Parábola, triângulo e equação com cosseno (função quadrática)
Enunciado
Considere $a, b, c \in \mathbb{R}$ e a função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = ax^2 + bx + c$.
a) Determine os valores de $a$, $b$ e $c$ para que $f(1) = 1$, $f(0) = 0$ e $f(-1) = 1$.
b) Para $a = -1$ e $b = 4$, determine o valor de $c$ de modo que a área do triângulo $ABV$ da figura seja igual a 32 u.a., onde $V$ é o vértice da parábola representada por $f$.
c) Considere $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a função dada por $g(t) = \cos t$. Se $a = 3$ e $c = -8$, determine para quais valores de $b$ a equação $f(g(t)) = 0$ possui ao menos uma solução real.
Resolução
a) Substituindo os três pontos:
- $f(0) = c = 0$;
- $f(1) = a + b + c = 1$, logo $a + b = 1$;
- $f(-1) = a - b + c = 1$, logo $a - b = 1$.
Somando as duas últimas: $2a = 2$, $a = 1$; então $b = 0$. A função é $f(x) = x^2$, que de fato vale 1 em $x = \pm 1$ e 0 em $x = 0$.
Resposta (a): $a = 1$, $b = 0$, $c = 0$.
b) Com $a = -1$ e $b = 4$: $f(x) = -x^2 + 4x + c$.
1. Vértice. $x_V = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{-2} = 2$ e $y_V = f(2) = -4 + 8 + c = 4 + c$. Logo $V = (2, 4 + c)$ e, pela figura, $A = (2, 0)$ é o pé da vertical por $V$.
2. Ponto $B$ (a maior raiz): $-x^2 + 4x + c = 0 \iff x^2 - 4x - c = 0$, e
$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4c}}{2} = 2 \pm \sqrt{4 + c}.$$Então $B = (2 + \sqrt{4 + c}, 0)$.
3. Área. O triângulo $ABV$ é retângulo em $A$, com catetos $AB = \sqrt{4 + c}$ e $AV = 4 + c$:
$$\frac{\sqrt{4 + c} \cdot (4 + c)}{2} = 32 \iff (4 + c)^{3/2} = 64 \iff 4 + c = 64^{2/3} = 16 \iff c = 12.$$Conferência: com $c = 12$, $f(x) = -x^2 + 4x + 12 = -(x - 6)(x + 2)$. Então $V = (2, 16)$, $A = (2, 0)$, $B = (6, 0)$ e a área é $\frac{4 \cdot 16}{2} = 32$.
Resposta (b): $c = 12$.
c) Agora $f(x) = 3x^2 + bx - 8$. Como $g(t) = \cos t$ assume todos os valores de $[-1, 1]$ (e só eles), a equação $f(\cos t) = 0$ tem solução se, e somente se, $f$ tem ao menos uma raiz no intervalo $[-1, 1]$.
1. As raízes têm sinais opostos. O produto das raízes é $\frac{c}{a} = -\frac{8}{3} < 0$, então há uma raiz negativa $x_1$ e uma positiva $x_2$ (o discriminante $b^2 + 96$ é sempre positivo).
2. Quando uma delas cai em $[-1, 1]$. Como $a = 3 > 0$ e $f(0) = -8 < 0$, a parábola está abaixo do eixo entre as raízes. Assim:
- a raiz positiva é $\leq 1$ se, e só se, $f(1) \geq 0$: $3 + b - 8 \geq 0 \iff b \geq 5$;
- a raiz negativa é $\geq -1$ se, e só se, $f(-1) \geq 0$: $3 - b - 8 \geq 0 \iff b \leq -5$.
Segundo caminho (fórmula das raízes): $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 + 96}}{6}$. A raiz positiva é $\leq 1$ quando $\sqrt{b^2 + 96} \leq 6 + b$; com $b \geq -6$ e elevando ao quadrado, $b^2 + 96 \leq 36 + 12b + b^2 \iff b \geq 5$. Por simetria, a negativa é $\geq -1$ quando $b \leq -5$. Por exemplo, com $b = 5$: $3x^2 + 5x - 8 = (x - 1)(3x + 8)$, e $x = 1 = \cos 0$ é raiz.
Resposta (c): $b \leq -5$ ou $b \geq 5$ (isto é, $|b| \geq 5$).
Para revisar, veja Equação do 2° grau.
Questão M03: Contagem de funções e pontos fixos
Enunciado
Considerando $A = \\{1, 2, 3, 4\\}$ e $B = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$,
a) quantas funções $f: A \to A$ (não necessariamente sobrejetoras) existem?
b) quantas são as funções $f: B \to B$ que satisfazem $f(f(n)) = n$, para todo $n \in B$?
c) escolhendo aleatoriamente uma função $f: B \to B$ bijetora, qual é a probabilidade de $f$ ter ao menos um ponto fixo?
Note e adote: Dizemos que $n \in B$ é um ponto fixo de $f$ se $f(n) = n$.
Resolução
a) Cada um dos 4 elementos do domínio pode ir para qualquer um dos 4 elementos do contradomínio, de forma independente:
$$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4 = 256.$$Resposta (a): 256 funções.
b) Se $f(f(n)) = n$, então $f$ é bijetora e, para cada $n$, ou $f(n) = n$ (ponto fixo), ou $f(n) = m \neq n$ e $f(m) = n$ (os dois trocam de lugar). Então $f$ fica determinada por quais pares de elementos trocam entre si; os demais ficam fixos. Contando pelo número de pares:
- 0 pares: só a identidade: 1.
- 1 par: escolher 2 dos 6: $C_{6,2} = 15$.
- 2 pares: escolher 4 elementos e dividi-los em 2 pares: $C_{6,4} \cdot 3 = 15 \cdot 3 = 45$ (4 elementos formam 3 pareamentos diferentes).
- 3 pares: dividir os 6 em 3 pares: $5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$ (o elemento 1 escolhe seu par de 5 jeitos, o menor que sobrou escolhe de 3, e o último par está determinado).
Resposta (b): 76 funções.
c) Há $6! = 720$ funções bijetoras de $B$ em $B$. É mais fácil contar o complementar: as bijeções sem ponto fixo (chamadas permutações caóticas ou desarranjos). Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número delas é
$$D_6 = 6!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!}\right) = 720 - 720 + 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265.$$Então há $720 - 265 = 455$ bijeções com ao menos um ponto fixo, e
$$P = \frac{455}{720} = \frac{91}{144} \approx 0{,}632.$$Segundo caminho (recorrência): os desarranjos satisfazem $D_n = (n - 1)(D_{n-1} + D_{n-2})$, com $D_1 = 0$ e $D_2 = 1$. Daí $D_3 = 2$, $D_4 = 3 \cdot 3 = 9$, $D_5 = 4 \cdot 11 = 44$ e $D_6 = 5 \cdot 53 = 265$, o mesmo valor. (Conferimos também por computador, listando as 720 permutações: 455 têm ponto fixo, e 76 funções satisfazem o item b.)
Resposta (c): $\dfrac{91}{144}$.
Para revisar, veja Eventos Equiprováveis.
Questão M04: Circunferências tangentes em progressão geométrica
Enunciado
Considere as circunferências $C, C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n, \ldots$ e a reta $s$ satisfazendo as seguintes propriedades:
- A circunferência $C_1$ tem centro $(0, 0)$ e raio $r = 4$. Os centros das demais circunferências pertencem ao eixo $Ox$.
- A circunferência $C_2$ é tangente a $C_1$ e a $C_3$, a circunferência $C_3$ é tangente a $C_2$ e a $C_4$, e assim por diante.
- A reta $s$ é tangente a cada circunferência $C_n$ para $n \geq 1$.
- O segmento que liga o centro de $C_1$ ao ponto em que $s$ tangencia $C_1$ forma um ângulo de $60^\circ$ com o eixo $Ox$.
- A circunferência $C$ é tangente a $C_1$ no ponto $Q = (-4, 0)$ e passa pelo ponto $P = (x_0, 0)$.
Com base nessas informações,
a) determine o raio da circunferência $C$.
b) dado $n \geq 1$, determine a razão entre os raios das circunferências consecutivas $C_{n+1}$ e $C_n$.
c) determine a área da região sombreada na figura.
Resolução
a) As circunferências $C_n$ ficam cada vez menores e se acumulam no ponto $P$, onde a reta $s$ corta o eixo $Ox$ (veja a figura).
Seja $T$ o ponto em que $s$ tangencia $C_1$ e $O = (0, 0)$. O raio $OT$ é perpendicular à reta tangente, então o triângulo $OTP$ é retângulo em $T$, com $OT = 4$ e ângulo $T\hat{O}P = 60^\circ$. Assim
$$\cos 60^\circ = \frac{OT}{OP} \iff \frac{1}{2} = \frac{4}{x_0} \iff x_0 = 8.$$O segmento $QP$, de $(-4, 0)$ a $(8, 0)$, é um diâmetro de $C$ (os dois pontos estão no eixo $Ox$, que passa pelo centro de $C$ por simetria). Então o diâmetro mede 12 e o raio mede 6.
Resposta (a): o raio de $C$ é 6.
b) No triângulo $OTP$, o ângulo em $P$ é $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. O mesmo vale para cada $C_n$: se $r_n$ é o raio e $d_n$ é a distância do centro de $C_n$ até $P$, o triângulo formado pelo centro, pelo ponto de tangência com $s$ e por $P$ é retângulo com ângulo de $30^\circ$ em $P$, logo
$$\text{sen } 30^\circ = \frac{r_n}{d_n} \iff d_n = 2r_n.$$(Para $C_1$: $d_1 = 8 = 2 \cdot 4$.) Como $C_n$ e $C_{n+1}$ são tangentes externamente e têm centros no eixo, a distância entre os centros é a soma dos raios:
$$d_n - d_{n+1} = r_n + r_{n+1} \iff 2r_n - 2r_{n+1} = r_n + r_{n+1} \iff r_n = 3r_{n+1}.$$Resposta (b): $\dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{1}{3}$.
c) A região sombreada é o interior de $C$ menos os interiores de todas as $C_n$.
- Área de $C$: $\pi \cdot 6^2 = 36\pi$.
- Os raios formam a PG $4, \frac{4}{3}, \frac{4}{9}, \ldots$; as áreas formam a PG $16\pi, \frac{16\pi}{9}, \frac{16\pi}{81}, \ldots$, de razão $\frac{1}{9}$. A soma infinita é
Área sombreada: $36\pi - 18\pi = 18\pi$.
Segundo caminho (conferência numérica): somando com o computador as áreas das 50 primeiras circunferências, $36\pi - \sum \pi r_n^2 \approx 56{,}549 \approx 18\pi$. Também dá para conferir o item b com os números: $r_2 = \frac{4}{3}$ dá $d_2 = \frac{8}{3}$, e de fato $d_1 - d_2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = 4 + \frac{4}{3}$.
Resposta (c): $18\pi$ u.a.
Para revisar, veja Área do Círculo.
Questão M05: Degraus de uma escada (inequações)
Enunciado
Segundo as normas da NBR 9077, uma escada deve ter todos os degraus com a mesma altura e a mesma largura. Além disso, indicando por $L$ a largura de um degrau e por $A$ a sua altura, ambas em centímetros, as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas:
a) Se $A = 16$, quais são os possíveis valores de $L$?
b) A altura do primeiro andar de um sobrado é 2,52 metros, medido de um pavimento ao outro. O arquiteto projetou a escada para ter o maior comprimento (soma das larguras dos degraus) possível, respeitando as normas citadas. Dessa forma, quantos degraus terá a escada e qual é a altura e largura de cada um?
c) Quais são o maior e o menor valor possível para a tangente do ângulo de inclinação de uma escada construída de acordo com essa norma?
Note e adote: A figura é meramente ilustrativa e não representa a escada do enunciado.
Resolução
a) Com $A = 16$: $63 \leq 32 + L \leq 64 \iff 31 \leq L \leq 32$.
Resposta (a): $L$ pode ser qualquer valor entre 31 cm e 32 cm ($31 \leq L \leq 32$).
b) 1. Número de degraus. Com $n$ degraus iguais, cada um tem altura $A = \frac{252}{n}$ cm. A norma exige $16 \leq \frac{252}{n} \leq 18$, isto é,
$$\frac{252}{18} \leq n \leq \frac{252}{16} \iff 14 \leq n \leq 15{,}75.$$Como $n$ é inteiro, $n = 14$ ou $n = 15$.
2. Maior largura para cada caso. Para o comprimento $n \cdot L$ ser o maior possível, $L$ deve ser o maior permitido: $2A + L = 64$, ou $L = 64 - 2A$.
| Degraus $n$ | Altura $A = 252/n$ | Largura máxima $L = 64 - 2A$ | Comprimento $n \cdot L$ |
|---|---|---|---|
| 14 | 18 cm | 28 cm | $14 \cdot 28 = 392$ cm |
| 15 | 16,8 cm | 30,4 cm | $15 \cdot 30{,}4 = 456$ cm |
O maior comprimento é com 15 degraus.
Conferência: $2 \cdot 16{,}8 + 30{,}4 = 64$ e $16 \leq 16{,}8 \leq 18$. Certo.
Resposta (b): 15 degraus, cada um com altura de 16,8 cm e largura de 30,4 cm.
c) A inclinação da escada é a de cada degrau: $\tan \alpha = \dfrac{A}{L}$.
- Maior tangente: queremos $A$ grande e $L$ pequeno. Pela norma, $L \geq 63 - 2A$, então $\dfrac{A}{L} \leq \dfrac{A}{63 - 2A}$. Essa fração cresce com $A$ (o numerador aumenta e o denominador diminui), então o máximo é em $A = 18$: $\dfrac{18}{63 - 36} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3}$.
- Menor tangente: queremos $A$ pequeno e $L$ grande. Como $L \leq 64 - 2A$, $\dfrac{A}{L} \geq \dfrac{A}{64 - 2A}$, que também cresce com $A$; o mínimo é em $A = 16$: $\dfrac{16}{64 - 32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}$.
Os dois valores são atingidos: $(A, L) = (18, 27)$ e $(A, L) = (16, 32)$ cumprem a norma.
Segundo caminho: escrevendo $L = \frac{A}{t}$ com $t = \tan \alpha$, a condição $63 \leq 2A + \frac{A}{t} \leq 64$ vira $\frac{63}{A} - 2 \leq \frac{1}{t} \leq \frac{64}{A} - 2$. O maior valor possível de $\frac{1}{t}$ é $\frac{64}{16} - 2 = 2$ (logo $t \geq \frac{1}{2}$), e o menor é $\frac{63}{18} - 2 = \frac{3}{2}$ (logo $t \leq \frac{2}{3}$). Mesmo resultado.
Resposta (c): a maior tangente é $\dfrac{2}{3}$ e a menor é $\dfrac{1}{2}$.
Para revisar, veja Desigualdades de números reais.
Questão M06: Parte real, módulo e circunferência (números complexos)
Enunciado
Um número complexo é da forma $z = x + yi$, onde $x, y \in \mathbb{R}$ e $i^2 = -1$.
a) Determine o valor de $b \in \mathbb{R}$ para que a parte real do número complexo $\dfrac{2 + bi}{1 + i}$ seja igual a zero.
b) Determine a solução da equação $|z| - z = 1 + 2i$.
c) Determine o valor de $a \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$, para que a equação
$$az\bar{z} + (1 + i)z + \overline{(1 + i)z} + 1 = 0$$descreva uma circunferência no plano cartesiano.
Resolução
a) Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
$$\frac{2 + bi}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{2 - 2i + bi - bi^2}{1 - i^2} = \frac{(2 + b) + (b - 2)i}{2}.$$A parte real é $\dfrac{2 + b}{2}$, que é zero quando $b = -2$.
Conferência: $\dfrac{2 - 2i}{1 + i} = \dfrac{(2 - 2i)(1 - i)}{2} = \dfrac{2 - 4i + 2i^2}{2} = -2i$, que é imaginário puro.
Resposta (a): $b = -2$.
b) Com $z = x + yi$, $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ é real, e a equação fica
$$\sqrt{x^2 + y^2} - x - yi = 1 + 2i.$$Igualando as partes imaginárias: $-y = 2$, logo $y = -2$. Igualando as partes reais:
$$\sqrt{x^2 + 4} = 1 + x \Rightarrow x^2 + 4 = 1 + 2x + x^2 \Rightarrow x = \frac{3}{2}.$$(Como elevamos ao quadrado, conferimos: $1 + x = \frac{5}{2} \geq 0$ e $\sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$. Certo.)
Conferência na equação original: $|z| = \frac{5}{2}$ e $\frac{5}{2} - \left(\frac{3}{2} - 2i\right) = 1 + 2i$.
Resposta (b): $z = \dfrac{3}{2} - 2i$.
c) Com $z = x + yi$:
- $z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$;
- $(1 + i)z = (1 + i)(x + yi) = (x - y) + (x + y)i$;
- somar um número com o seu conjugado dá o dobro da parte real: $(1 + i)z + \overline{(1 + i)z} = 2(x - y)$.
A equação fica
$$a(x^2 + y^2) + 2x - 2y + 1 = 0.$$Dividindo por $a \neq 0$ e completando quadrados:
$$\left(x + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{a}\right)^2 = \frac{2}{a^2} - \frac{1}{a} = \frac{2 - a}{a^2}.$$Isso é uma circunferência (de centro $\left(-\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$) se, e só se, o lado direito for positivo: $\frac{2 - a}{a^2} > 0 \iff a < 2$. Se $a = 2$ a equação representa um único ponto, e se $a > 2$ não tem solução.
Segundo caminho (exemplo numérico): com $a = 1$, a equação é $x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$, ou $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$: circunferência de raio 1, de acordo com $\frac{2 - 1}{1^2} = 1$. Com $a = 3$ ficaria $(x + \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = -\frac{1}{9}$, impossível.
Resposta (c): $a < 2$, com $a \neq 0$.