Fixar a notação

Em um triângulo não degenerado, os ângulos $A,B,C$ estão opostos aos lados $a,b,c$, respectivamente. Todos os lados são positivos e $A+B+C=\pi$.

Demonstração da lei dos cossenos

Coloque o vértice A na origem, B em $(c,0)$ e C em $(b\cos A,b\sin A)$. A distância entre B e C é $a$. Pelo teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas:

$$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$

O argumento vale também para ângulos obtusos. Se $A=\pi/2$, o termo de cosseno é zero e reencontramos Pitágoras. Permutar as letras fornece as outras duas leis dos cossenos.

Área e demonstração da lei dos senos

A altura relativa a $c$ mede $b\sin A$, inclusive quando o pé cai no prolongamento da base. A área $K$ é:

$$K=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}.$$

Igualar as três expressões e dividir por $abc/2>0$ dá:

$$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$

Se $R$ é o raio da circunferência circunscrita, uma corda que subtende o ângulo inscrito $A$ satisfaz $a=2R\sin A$. Para $A$ agudo, isso vem de dividir ao meio o triângulo formado pela corda e dois raios; para $A$ obtuso, use o suplemento, de mesmo seno. No caso reto, a corda é um diâmetro. Portanto:

$$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$$

$$K=\frac{abc}{4R}.$$

Relações de projeção

Os deslocamentos sobre a direção de um lado se somam, com sinal. Projetando os lados $c$ e $b$ sobre a reta de $a$:

$$a=b\cos C+c\cos B.$$

Se um dos ângulos for obtuso, sua projeção entra negativa porque seu cosseno é negativo. Analogamente, $b=a\cos C+c\cos A$ e $c=a\cos B+b\cos A$.

Lei das tangentes

Pela lei dos senos, para $a\ne b$:

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}.$$

Transformando numerador e denominador em produtos e simplificando os fatores não nulos:

$$\frac{a+b}{a-b}= \frac{\tan((A+B)/2)}{\tan((A-B)/2)}.$$

As outras relações se obtêm trocando os pares de lados e ângulos. Se $a=b$, a expressão com denominador $a-b$ não existe; o triângulo deve ser tratado diretamente como isósceles.

Exemplo resolvido

Se $b=5$, $c=7$ e $A=60°$:

$$a=\sqrt{25+49-70\cdot\frac12}=\sqrt{39},$$

$$K=\frac{5\cdot7\cdot\sin60°}{2}=\frac{35\sqrt3}{4}.$$

Os comprimentos e a área permanecem exatos, sem arredondar os radicais.

No dia a dia

  • Navegação. Dois navios a 8 km e 5 km do porto, em rotas a $60^\circ$, estão a 7 km um do outro (lei dos cossenos).
  • Terrenos. A área de um lote triangular sai de dois lados e do ângulo entre eles: $\frac{1}{2}ab\operatorname{sen} C$.
  • Topografia. Com uma base e dois ângulos, a lei dos senos dá distâncias a pontos inacessíveis.
Lei dos cossenos na navegação: a distância entre dois navios.

Exercícios com resolução

1. Dois lados medem 6 e 8 cm e o ângulo entre eles é $60°$. Calcule o terceiro lado.

Conferir resolução 1

$a^2=36+64-96\cdot1/2=52$, então $a=2\sqrt{13}$ cm.

2. Se $a=10$ cm e o ângulo oposto é $30°$, calcule o raio circunscrito.

Conferir resolução 2

$2R=a/\sin A=10/(1/2)=20$ cm, logo $R=10$ cm.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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