Quantos metros quadrados tem um terreno, quanta tinta vai numa parede, quanto tecido vai numa bandeira? Todas essas perguntas são sobre área — e quase todas as fórmulas saem de uma única: a do retângulo.

Quem descobriu

Os primeiros cálculos de área de que temos registro são dos escribas do Egito e da Mesopotâmia: o papiro Rhind (c. 1650 a.C.) calcula áreas de campos retangulares, triangulares e até circulares, e tábuas babilônicas trazem áreas de trapézios. Os gregos deram a essas regras uma justificativa: nos Elementos, Euclides (c. 300 a.C.) prova que paralelogramos de mesma base e mesma altura têm a mesma área (proposição I.35) e que o triângulo é metade do paralelogramo (I.41). A fórmula do círculo foi demonstrada por Arquimedes (século III a.C.).

A história

A ideia grega era comparar figuras recortando e colando, sem números: duas figuras têm a mesma área se uma pode ser decomposta e remontada na outra. É o mesmo método das figuras abaixo.

Os egípcios usavam, para o círculo, a regra “tire $\tfrac{1}{9}$ do diâmetro e eleve ao quadrado”, o que equivale a usar $\pi \approx 3{,}16$. Arquimedes mostrou que a área do círculo é igual à de um triângulo com base igual à circunferência e altura igual ao raio — isto é, $\pi r^2$.

No dia a dia

  • Imóveis. O preço de um apartamento é dado por metro quadrado; a planta traz a área de cada cômodo.
  • Pintura e piso. A quantidade de tinta e de cerâmica depende da área das paredes e do chão.
  • Agricultura. Produção e sementes são calculadas por hectare (10 000 m²).
  • Pizza. Uma pizza de 40 cm de diâmetro tem quase o dobro da área de uma de 30 cm (1 257 cm² contra 707 cm²).

Do retângulo às outras figuras

ResumoFórmulas de área

Figura Área Ideia
Retângulo $A = b \cdot h$ linhas de quadradinhos
Paralelogramo $A = b \cdot h$ recorta um triângulo e vira retângulo
Triângulo $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ metade de um paralelogramo
Trapézio $A = \dfrac{(B + b)\, h}{2}$ dois trapézios formam um paralelogramo
Losango $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ metade do retângulo das diagonais
Círculo $A = \pi r^2$ setores formam um “quase retângulo”
Escolha a figura e arraste o vértice amarelo. A altura é sempre medida na perpendicular à base (linha tracejada).

AtençãoA altura é perpendicular à base

No paralelogramo e no triângulo, a altura não é o lado inclinado: é a distância entre a base e o vértice oposto, medida em ângulo reto. Inclinar a figura sem mudar base e altura não muda a área.

A área do círculo

Corte o círculo em setores e encaixe-os alternando para cima e para baixo. Com muitos setores, a figura vira um retângulo de base πr e altura r.

Exercícios

1

Um terreno retangular mede 12 m por 5 m. Qual é a sua área?

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$A = 12 \cdot 5 = 60\ \text{m}^2$

2

Um triângulo tem base de 10 cm e altura de 6 cm. Calcule a área.

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$A = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30\ \text{cm}^2$

3

A seção de um canal é um trapézio de bases 9 m e 5 m e altura 4 m. Qual é a área da seção?

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$A = \dfrac{(9 + 5) \cdot 4}{2} = 28\ \text{m}^2$

4

Uma pipa em forma de losango tem diagonais de 16 cm e 10 cm. Quanto papel ela usa?

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$A = \dfrac{16 \cdot 10}{2} = 80\ \text{cm}^2$

5

Um canteiro circular tem 3 m de raio. Calcule sua área (use $\pi \approx 3{,}14$).

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$A = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28{,}3\ \text{m}^2$

Verdadeiro ou falso?

  1. Um paralelogramo e um retângulo de mesma base e mesma altura têm a mesma área.
  2. Dobrando o raio de um círculo, a área dobra.
  3. A área do triângulo é metade da área de um paralelogramo de mesma base e altura.
  4. Num paralelogramo inclinado, a altura é o lado inclinado.

Fontes: Elementos, proposição I.35 · Elementos, proposição I.41 · Arquimedes (MacTutor).