Medianas, alturas e bissetrizes podem ser calculadas só a partir dos três lados. Todas as fórmulas saem das relações métricas — e uma única relação, a de Stewart, resolve todas de uma vez.

Quem descobriu

A fórmula da mediana é conhecida como teorema de Apolônio: Papo de Alexandria a atribui a Apolônio de Perga (século III a.C.). A fórmula da altura usa a área do triângulo em função dos lados, a fórmula de Heron, demonstrada por Heron de Alexandria no século I, na Métrica (os árabes a atribuíam a Arquimedes). A relação que vale para qualquer segmento ligando um vértice ao lado oposto foi publicada pelo escocês Matthew Stewart em 1746, no livro Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics.

Apolônio de Perga, representação artística posterior.
Apolônio de Perga, representação artística posterior.Giovanni Battista Memo · Wikimedia Commons · Domínio público
Heron de Alexandria, representação artística posterior.
Heron de Alexandria, representação artística posterior.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público
Arquimedes, representação artística posterior.
Arquimedes, representação artística posterior.Domenico Fetti · Wikimedia Commons · Domínio público
Matthew Stewart.
Matthew Stewart.Unknown authorUnknown author · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

Stewart (1717–1785) foi aluno de Robert Simson em Glasgow e de Colin Maclaurin em Edimburgo, e sucedeu Maclaurin na cátedra de matemática. Ele defendia métodos puramente geométricos, à maneira grega, mesmo para problemas de astronomia, como o cálculo da distância do Sol.

Robert Simson.
Robert Simson.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público
Colin Maclaurin.
Colin Maclaurin.David Steuart Erskine (1742–1829) · Wikimedia Commons · Domínio público

O segmento que liga um vértice a um ponto do lado oposto chama-se hoje ceviana, em homenagem ao italiano Giovanni Ceva (1678). Medianas, alturas e bissetrizes são cevianas particulares, e por isso a relação de Stewart dá as fórmulas de todas elas.

No dia a dia

  • Estruturas. O comprimento de uma escora interna de uma treliça, ligando um nó a um ponto da barra oposta, sai da relação de Stewart.
  • Área de terrenos. Com a fórmula de Heron, a área de um terreno triangular é calculada só com as medidas dos três lados, sem medir ângulos.
  • Design e computação gráfica. Programas de modelagem calculam medianas e baricentros para dividir e equilibrar malhas de triângulos.
  • Navegação. O ponto médio entre dois portos e a distância de um navio até ele são problemas de mediana.

Fontes: Matthew Stewart (MacTutor) · Heron de Alexandria (MacTutor) · Apolônio (MacTutor).

Teoria e construções

Escolha a linha notável e arraste os vértices. A medida na figura coincide com a calculada pela fórmula, só com os lados.

Cálculo das medianas

TeoremaMedianas em função dos lados

Sendo $a$, $b$ e $c$ os lados de um triângulo, as medianas relativas a esses lados medem

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}, \qquad m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2 + c^2) - b^2}, \qquad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2 + b^2) - c^2}.$$
Ver a dedução

Seja $M$ o ponto médio de $\overline{BC}$ e $D$ o pé da altura por $A$, com $x$ a distância de $M$ a $D$. Nos triângulos $AMC$ e $AMB$ (um com ângulo obtuso e outro com ângulo agudo em $M$):

$$b^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2\cdot\frac{a}{2}\cdot x, \qquad c^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{a}{2}\cdot x.$$

Somando: $b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \dfrac{a^2}{2}$, logo $4m_a^2 = 2(b^2 + c^2) - a^2$. Se $\hat M$ for reto, o resultado é imediato pelo teorema de Pitágoras.

ExemploMedianas do triângulo de lados 5, 7 e 8

Com $a = 5$, $b = 7$ e $c = 8$:

$$m_a = \tfrac{1}{2}\sqrt{2(49 + 64) - 25} = \tfrac{1}{2}\sqrt{201}, \quad m_b = \tfrac{1}{2}\sqrt{2(25 + 64) - 49} = \tfrac{1}{2}\sqrt{129}, \quad m_c = \tfrac{1}{2}\sqrt{2(25 + 49) - 64} = \sqrt{21}.$$

Nota. Poderíamos obter $m_c$ sem a fórmula, pela lei dos cossenos nos triângulos $CBM$ e $CAM$ (com $\alpha$ o ângulo em $M$): $5^2 = m_c^2 + 4^2 - 8m_c\cos\alpha$ e $7^2 = m_c^2 + 4^2 + 8m_c\cos\alpha$. Somando, $2m_c^2 = 42$ e $m_c = \sqrt{21}$.

Cálculo das alturas

TeoremaAlturas em função dos lados

Sendo $2p = a + b + c$ o perímetro do triângulo ($p$ é o semiperímetro):

$$h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \qquad h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \qquad h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.$$
Ver a dedução

Seja $\overline{CD} = h_c$ e $m$ a projeção de $b$ sobre $c$. No $\triangle ADC$: $h_c^2 = b^2 - m^2$ (1). Pela relação métrica, $a^2 = b^2 + c^2 \mp 2cm$, logo $m = \pm\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}$ (2). Substituindo (2) em (1):

$$4c^2h_c^2 = (2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2 = (2bc + b^2 + c^2 - a^2)(2bc - b^2 - c^2 + a^2)$$$$= [(b + c)^2 - a^2]\,[a^2 - (b - c)^2] = (b + c + a)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c).$$

Como $a + b + c = 2p$, $-a + b + c = 2(p - a)$, $a - b + c = 2(p - b)$ e $a + b - c = 2(p - c)$:

$$4c^2h_c^2 = 2p \cdot 2(p - a) \cdot 2(p - b) \cdot 2(p - c) \;\Rightarrow\; h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.$$

ExemploAlturas do triângulo de lados 5, 7 e 8

$p = 10$, $p - a = 5$, $p - b = 3$, $p - c = 2$ e $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$. Então

$$h_a = \frac{2}{5}\cdot 10\sqrt{3} = 4\sqrt{3}, \qquad h_b = \frac{2}{7}\cdot 10\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{3}}{7}, \qquad h_c = \frac{2}{8}\cdot 10\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

Nota. Nem sempre as fórmulas simplificam os cálculos. Num triângulo de lados $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$ e 5, a altura relativa ao maior lado sai mais depressa por Pitágoras: com $x$ a projeção do lado $\sqrt{5}$, $h^2 + x^2 = 5$ e $h^2 + (5 - x)^2 = 10$; subtraindo, $10x = 20$, $x = 2$ e $h = 1$.

Relação de Stewart

TeoremaRelação de Stewart

Dado um triângulo $ABC$ e sendo $D$ um ponto do lado $\overline{AB}$, com $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$, $DB = x$, $AD = y$ e $CD = z$, vale

$$a^2y + b^2x - z^2c = cxy.$$
Arraste o ponto D sobre o lado AB e os vértices. Os dois membros da relação de Stewart ficam sempre iguais.
Ver a demonstração

Seja $m$ a projeção de $\overline{CD}$ sobre $\overline{AB}$. Pelas relações métricas, nos triângulos $BCD$ e $ACD$ (um ângulo em $D$ é agudo e o outro obtuso):

$$a^2 = x^2 + z^2 \mp 2xm \quad (1) \qquad b^2 = y^2 + z^2 \pm 2ym \quad (2)$$

Multiplicando (1) por $y$ e (2) por $x$ e somando, os termos com $m$ se cancelam:

$$a^2y + b^2x = xy(x + y) + z^2(x + y) = cxy + z^2c \;\Rightarrow\; a^2y + b^2x - z^2c = cxy.$$

ExemploAplicação: circunferência tangente a três outras

Considere as circunferências $\lambda(O, 3)$, $\lambda(O_1, 2)$ e $\lambda(O_2, 1)$, com $O_1$ e $O_2$ sobre um diâmetro e as duas menores tangentes entre si e tangentes internamente à maior, e uma quarta circunferência $\lambda(O_3, x)$ tangente às três. No triângulo $O_1O_2O_3$: $O_1O_2 = 3$, $O_1O_3 = 2 + x$, $O_2O_3 = 1 + x$; e ainda $OO_1 = 1$, $OO_2 = 2$ e $OO_3 = 3 - x$. Aplicando a relação de Stewart com a ceviana $\overline{O_3O}$:

$$(1 + x)^2 \cdot 1 + (2 + x)^2 \cdot 2 - (3 - x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 28x = 24 \;\Rightarrow\; x = \frac{6}{7}.$$

Nota. Com a relação de Stewart também se calculam as medianas: basta tomar $x = y = \dfrac{c}{2}$.

Cálculo das bissetrizes internas

TeoremaBissetrizes internas em função dos lados

$$s_a = \frac{2}{b + c}\sqrt{bc\,p(p - a)}, \qquad s_b = \frac{2}{a + c}\sqrt{ac\,p(p - b)}, \qquad s_c = \frac{2}{a + b}\sqrt{ab\,p(p - c)}.$$
Ver a dedução

A bissetriz $\overline{AS}$ divide $\overline{BC}$ em $x$ (lado de $B$) e $y$ (lado de $C$). Pelo teorema da bissetriz interna, $\dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b}$ e $x + y = a$; logo $x = \dfrac{ac}{b + c}$ e $y = \dfrac{ab}{b + c}$. Pela relação de Stewart no $\triangle ABC$, $b^2x + c^2y - s_a^2a = xya$. Substituindo:

$$(b + c)^2 s_a^2 = bc\,[(b + c)^2 - a^2] = bc\,(b + c + a)(b + c - a) = bc \cdot 2p \cdot 2(p - a),$$

donde $s_a = \dfrac{2}{b + c}\sqrt{bc\,p(p - a)}$.

ExemploBissetrizes internas do triângulo de lados 5, 7 e 8

Com $p = 10$, $p - a = 5$, $p - b = 3$ e $p - c = 2$:

$$s_a = \frac{2}{15}\sqrt{7 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{2}{15}\cdot 20\sqrt{7} = \frac{8\sqrt{7}}{3}, \qquad s_b = \frac{2}{13}\sqrt{5 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 3} = \frac{40\sqrt{3}}{13}, \qquad s_c = \frac{2}{12}\sqrt{5 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{7}}{3}.$$

Cálculo das bissetrizes externas

TeoremaBissetrizes externas em função dos lados

$$s^{\prime}_a = \frac{2}{|b - c|}\sqrt{bc\,(p - b)(p - c)}, \qquad s^{\prime}_b = \frac{2}{|a - c|}\sqrt{ac\,(p - a)(p - c)}, \qquad s^{\prime}_c = \frac{2}{|a - b|}\sqrt{ab\,(p - a)(p - b)}.$$

Se $b = c$, a expressão de $s^{\prime}_a$ não tem sentido: a bissetriz do ângulo externo do vértice de um triângulo isósceles é paralela à base.

Ver a dedução

Seja $b > c$. A bissetriz externa $\overline{AS^{\prime}}$ encontra a reta $BC$ num ponto $S^{\prime}$ além de $B$; sejam $S^{\prime}B = x$ e $S^{\prime}C = y$, de modo que $y - x = a$. Pelo teorema da bissetriz externa, $\dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b}$; logo $x = \dfrac{ac}{b - c}$ e $y = \dfrac{ab}{b - c}$. Aplicando a relação de Stewart no triângulo $AS^{\prime}C$ com a ceviana $\overline{AB}$:

$$s^{\prime 2}_a \cdot a + b^2x - c^2y = a\,x\,y.$$

Substituindo $x$ e $y$:

$$(b - c)^2 s^{\prime 2}_a = bc\,[a^2 - (b - c)^2] = bc\,(a + b - c)(a - b + c) = bc \cdot 2(p - c) \cdot 2(p - b),$$

donde $s^{\prime}_a = \dfrac{2}{|b - c|}\sqrt{bc\,(p - b)(p - c)}$. Se $b < c$, troca-se $b - c$ por $c - b$: por isso a diferença aparece em módulo.

ExemploBissetrizes externas do triângulo de lados 5, 7 e 8

$$s^{\prime}_a = \frac{2}{1}\sqrt{7 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 2} = 8\sqrt{21}, \qquad s^{\prime}_b = \frac{2}{3}\sqrt{5 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{40}{3}, \qquad s^{\prime}_c = \frac{2}{2}\sqrt{5 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = 5\sqrt{21}.$$