No tratado Sobre as espirais, também dedicado a Dositeu, Arquimedes estuda uma curva nova, definida por um movimento.

Se uma reta, num plano, gira com velocidade constante em torno de uma das suas extremidades, que fica fixa, e volta à posição de partida, e se, ao mesmo tempo, um ponto se move ao longo da reta com velocidade constante, a partir da extremidade fixa, o ponto descreverá uma espiral no plano.

— Arquimedes, Sobre as espirais, definição

A equação

Em coordenadas polares, a distância $r$ do ponto ao centro cresce na mesma proporção que o ângulo $\theta$ girado pela reta:

$$r = a\,\theta.$$

A cada volta completa, o raio cresce a mesma quantidade, $2\pi a$, de modo que as voltas sucessivas ficam igualmente espaçadas, como os sulcos de um disco de vinil ou uma mangueira enrolada no chão.

Um terço do círculo

Arquimedes calculou a área varrida pelo raio durante a primeira volta. A técnica é a mesma da exaustão: dividir a volta em muitos setores circulares estreitos, uns por dentro, outros por fora da curva, e somar. Em notação moderna, um setor de ângulo $d\theta$ e raio $r$ tem área $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$, e então

$$A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(a\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2.$$

O círculo cujo raio é o raio final da primeira volta, $R = 2\pi a$, tem área $\pi R^2 = 4\pi^3 a^2$. A área da espiral é exatamente um terço dele:

$$\frac{A}{\pi R^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi^3 a^2}{4\pi^3 a^2} = \frac{1}{3}.$$

Para chegar a isso, Arquimedes precisou de uma fórmula para a soma dos quadrados $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$, que equivale a dizer que essa soma fica entre $\frac{n^3}{3}$ e $\frac{(n+1)^3}{3}$. É a mesma soma que, no cálculo, dá $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$.

A tangente e a circunferência

Arquimedes também encontrou a direção da tangente à espiral, um feito notável numa época sem derivadas. O resultado tem uma consequência surpreendente: no fim da primeira volta, a tangente corta a reta perpendicular ao raio, passando pelo centro, num ponto cuja distância ao centro é exatamente igual à circunferência do círculo de raio $R$. A espiral permite, portanto, construir um segmento do comprimento de uma circunferência, e com ele quadrar o círculo. Não é uma construção com régua e compasso, porque a própria espiral não pode ser traçada com esses instrumentos; mas mostra que o problema se resolve com uma curva só um pouco mais complicada.

Exercício: a segunda volta

Qual é a área varrida pelo raio durante a segunda volta, de $\theta = 2\pi$ a $\theta = 4\pi$? Compare com a da primeira volta.

$\int_{2\pi}^{4\pi}\frac{a^2\theta^2}{2}\,d\theta = \frac{a^2}{6}\left[(4\pi)^3 - (2\pi)^3\right] = \frac{a^2}{6}\cdot 56\pi^3 = \frac{28}{3}\pi^3 a^2$. A primeira volta tinha $\frac{4}{3}\pi^3 a^2$; a segunda varre sete vezes mais. (A área varrida pela segunda volta inclui a região já varrida pela primeira; Arquimedes também calcula a área do anel entre as duas voltas, que é seis vezes a primeira.)

Exercício: a soma dos quadrados

Confira a desigualdade de Arquimedes para $n = 10$: $\frac{10^3}{3} < 1^2 + 2^2 + \cdots + 10^2 < \frac{11^3}{3}$.

A soma é $\frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385$. Os limites são $\frac{1000}{3} \approx 333{,}3$ e $\frac{1331}{3} \approx 443{,}7$. De fato, $333{,}3 < 385 < 443{,}7$. Quando $n$ cresce, a soma dividida por $n^3$ se aproxima de $\frac{1}{3}$, e é daí que vem o “um terço” da espiral.

Fontes: Arquimedes, Sobre as espirais, definições e proposições 10, 18–20 e 24 · Thomas L. Heath, The Works of Archimedes (1897) · E. J. Dijksterhuis, Archimedes (1956), cap. XI.

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