No post anterior, foi mostrado a técnica usada por Bhãskara para resolução de equações do 2° grau. Muito matemáticos entre os século XV a XVII, desenvolveram formas distintas para equações do 2° grau. Um deles foi François Viète (1540-1603).

Exemplo 1.

Proposta de François Viète

François Viète inspirado em Bhãskara, usou o método do lenço partilhado, que vamos demonstrar no próximo tópico.

François Viète

Trecho de alguns dos tópicos estudados por François Viète.

Ano Autor Artigo Notação
1593 Francis Vieta $$1x^3 + 30x^2+44x = 1560$$

Demonstração do método dos tempos modernos

Aqui, vamos usar recursos como produto notável e área de quadrados. Seja a seguinte equação do 2° grau.

$$ax^2 + bx+ c =0$$

O primeiro passo é isolar $x^2$, para isto vamos usar a balança.

$$ \begin{aligned} (ax^2 + bx+ c) \color{red}{\div a} &=0 \color{red}{\div a}\\ x^2 + \dfrac{b}{a}x+ \dfrac{c}{a} \color{red}{- \dfrac{c}{a}} &= 0 \color{red}{- \dfrac{c}{a} }\\ x^2 + \dfrac{b}{a}x &= -\dfrac{c}{a} \\ \end{aligned} $$

Agora, vamos somar $\dfrac{b^2}{4a^2}$ dos dois lados conforme figura geométrica, que é o resultado da multiplicação da tabela cruzada a seguir.

Exemplo 1.
$$ \begin{aligned} x^2 + \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b}{2a}x \color{red}{+\dfrac{b^2}{4a^2} } &= \color{red}{+\dfrac{b^2}{4a^2} } -\dfrac{c}{a}\\ \left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2 &= \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} \\ x+\dfrac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} }\\ x+\dfrac{b}{2a} \color{red}{- \dfrac{b}{2a} } &= \color{red}{- \dfrac{b}{2a} } \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} } \\ x &= - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac } }{2a} \\ \end{aligned} $$

O pessoal chama de $\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac }$. Com isso, obtemos:

$$ \begin{aligned} x &= \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\ \end{aligned} $$

Portanto, temos que

$$ \begin{aligned} x &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} \\ \text{ou} & \\ x &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a} \\ \end{aligned} $$

Exemplo 1

A seguinte equação represetna a partilha de bens usada na época de Bhãskara.

Exemplo 1. Obra de Euclides.

Em termos atuais temos:

$$x^2+10x -39 = 0$$
  • $a=1$
  • $b=10$
  • $c=-39$
$$ \begin{aligned} \Delta &=b^2 - 4ac \\ &= 10^2 - 4~.~1 ~.~ (-39) \\ &= 100 + 156\\ &= 256\\ \end{aligned} $$
Portanto, temos que
$$ \begin{aligned} x &= \dfrac{-10 + \sqrt{256} }{2} = 3 \\ \text{ou} & \\ x &= \dfrac{-10 - \sqrt{256} }{2} = -13\\ \end{aligned} $$
Exemplo 1.

No post anterior calculamos com detalhes.

Vale lembrar que o exemplo é sobre partilha de bens. Neste caso o valor negativo não faz sentido para esta aplicação. Porém, em outros podemos usar a outra solução.

Propriedade

Teorema de Cardano-Viète: Seja a equação na forma $ax^2 + bx+ c =0$, com $a\neq 0,$ com raízes reais $x_1$ e $x_2$. Então temos

$$\text{Soma} = S = x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a}$$

$$\text{Produto} = P = x_1 ~.~ x_2 = \dfrac{c}{a}$$

Demonstração:

Sejam as raízes da equação:

$$ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} \\ x_2 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a} \\ \end{aligned} $$

A soma das raízes é dada por:

$$ \begin{aligned} S &= x_1+x_2 \\ &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} + \left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}\right) \\ &= \dfrac{-2b}{2a} \\ &= \dfrac{-b}{a} \\ \end{aligned} $$

O produto das raízes é dada por:

$$ \begin{aligned} P &= x_1 ~.~ x_2 \\ &= \left(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a}\right) ~.~ \left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}\right) \\ &= \dfrac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} \\ &= \dfrac{b^2 - -b^2 + 4ac}{4a^2} \\ &= \dfrac{c}{a} \\ \end{aligned} $$

$\square$

Exemplo 2

Qual a soma e o produto das raízes da equação

$$2x^{2}-3x-6=0$$

sem a necessidade das raízes da equação.

Solução:

$$S=x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}}={\frac {-(-3)}{2}}={\frac {3}{2}}$$

$$P=x_{1}~.~x_{2}={\frac {c}{a}}={\frac {-6}{2}}=-3$$

Análise do discriminante

Definição (Discriminante): O termo $\Delta=b^{2}-4ac$ é chamado de discriminante.

Seja a equação na forma $ax^2 + bx+ c =0$, com $a\neq 0,$

Resultados:

  • $\Delta >0$ existem duas raízes reais e distintas;
  • $\Delta =0$ existem duas raízes reais e iguais;
  • $\Delta <0$ não existem raízes reais.

Exemplo 3

Qual o valor de $m$ para que a equação

$$2x^{2}+x+m=0$$

Para que ela tenha raízes reais e distintas.

Solução:

Neste caso,

$$\Delta =b^{2}-4ac>0$$

então

$$ \begin{aligned} (1)^{2}-4(2)(m) &> 0 \\ 1-8m &> 0 \\ m &< \dfrac{1}{8} \\ \end{aligned} $$

Exemplo 4

Qual o valor de $m$ para que a equação

$$x^{2}+mx+4=0$$

Para que ela tenha raízes reais e iguais.

Solução:

Neste caso,

$$\Delta =b^{2}-4ac=0$$

então

$$ \begin{aligned} (m)^{2}-4(1)(4) &= 0 \\ m^2-16 &= 0 \\ m &= \pm 4 \\ \end{aligned} $$

Exemplo 5

Qual o valor de $m$ para que a equação

$$mx^{2}+2x+3=0$$

Para que ela não tenha raízes reais.

Solução:

Neste caso,

$$\Delta =b^{2}-4ac=0$$

então

$$ \begin{aligned} (2)^{2}-4(m)(3) &< 0 \\ m &> \dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} $$

Estes são os resultados para equações do segundo grau. Aguardem os próximos posts.