Se o seno é a altura do ponto que gira, o cosseno é o seu afastamento horizontal do centro. Os dois andam juntos: quando um está no máximo, o outro passa por zero.

A história

Durante séculos, o cosseno não teve nome próprio: era só “o seno do complemento”. Viète o chamava de sinus residuae, e cada autor escrevia de um jeito. Em 1620, o inglês Edmund Gunter propôs, no seu Canon triangulorum, a forma abreviada co-sinus — e com ela também co-tangens. Quatro anos depois, Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sin, numa figura; os nomes pegaram, e o prefixo co- virou a marca de todas as funções “do complemento”.

A corrente de Gunter: com ela, o acre — a unidade de área dos agrimensores ingleses — fica sendo exatamente 10 correntes quadradas.

Fontes: Gunter (MacTutor) · Trigonometric functions (MacTutor).

No dia a dia

  • Painéis solares. A energia que um painel recebe é proporcional ao cosseno do ângulo entre os raios do Sol e a perpendicular ao painel: com os raios a $60^\circ$ dessa perpendicular, ele recebe metade do que receberia de frente.
  • Motores. No mecanismo de biela e manivela, a posição do pistão acompanha, de forma aproximada, $r\cos\theta$, em que $\theta$ é o giro do virabrequim.
  • Rampas. Uma rampa de comprimento $L$ e inclinação $\alpha$ ocupa no chão um comprimento horizontal $L\cos\alpha$ — é o espaço que o projeto precisa reservar.
Um painel solar recebe energia proporcional ao cosseno do ângulo entre os raios e a perpendicular ao painel.

Teoria

Definição

DefiniçãoCosseno e função cosseno

Dado um número real $x$, seja $P$ a sua imagem no ciclo. O cosseno de $x$ (indicamos $\cos x$) é a abscissa $\overline{OP_2}$ do ponto $P$ em relação ao sistema $uOv$.

A função cosseno é a função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que associa a cada real $x$ o real $\overline{OP_2} = \cos x$, isto é, $f(x) = \cos x$.

Arraste $P$: o segmento $\overline{OP_2}$, sobre o eixo dos cossenos, é $\cos x$. Troque para o seno e compare.

Propriedades

PropriedadePropriedades da função cosseno

  1. A imagem da função cosseno é o intervalo $[-1, 1]$: $\;-1 \le \cos x \le 1$ para todo $x$ real.
  2. Se $x$ é do 1º ou do 4º quadrante, $\cos x$ é positivo.
  3. Se $x$ é do 2º ou do 3º quadrante, $\cos x$ é negativo.
  4. Se $x$ percorre o 3º ou o 4º quadrante, $\cos x$ é crescente.
  5. Se $x$ percorre o 1º ou o 2º quadrante, $\cos x$ é decrescente.
  6. A função cosseno é periódica e o seu período é $2\pi$.
Ver as demonstrações

São as mesmas ideias usadas para o seno, agora olhando a abscissa de $P$.

1. A abscissa de um ponto do ciclo de raio 1 varia de $-1$ a $1$.

2 e 3. No 1º e no 4º quadrantes, $P$ está à direita do eixo $v$ e tem abscissa positiva; no 2º e no 3º, está à esquerda e tem abscissa negativa.

4 e 5. Quando $x$ percorre o 1º quadrante, $P$ vai de $A$ a $B$ e a abscissa decresce de 1 a 0; no 2º, de $B$ a $A'$, decresce de 0 a $-1$. No 3º, $P$ vai de $A'$ a $B'$ e a abscissa cresce de $-1$ a 0; no 4º, de $B'$ a $A$, cresce de 0 a 1.

6. $x$ e $x + 2k\pi$ têm a mesma imagem $P$, logo $\cos x = \cos(x + 2k\pi)$ para todo $x$ e todo $k \in \mathbb{Z}$. O menor valor positivo de $2k\pi$ é $2\pi$.

Gráfico: a cossenoide

Quando $x$ percorre $[0, 2\pi]$ e $P$ dá uma volta completa no sentido anti-horário, a abscissa de $P$ varia assim:

$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\cos x$ $1$ decresce $0$ decresce $-1$ cresce $0$ cresce $1$

O gráfico de $f(x) = \cos x$ chama-se cossenoide:

A cossenoide. O retângulo destacado, de dimensões $2\pi \times 2$, contém um período.
O cosseno é a abscissa do ponto do ciclo; o gráfico registra esse valor para cada $x$. Compare com a senoide: a cossenoide é a senoide deslocada de $\frac{\pi}{2}$ para a esquerda.

Como o domínio é $\mathbb{R}$, a cossenoide continua para a direita de $2\pi$ e para a esquerda de $0$.