O cálculo diferencial responde a uma pergunta: dada uma curva, qual é a sua tangente em cada ponto? Os matemáticos do século XVII logo perceberam que a pergunta inversa era mais difícil e mais útil: dada uma propriedade que as tangentes devem ter, qual é a curva? Esse problema recebeu o nome de método inverso das tangentes, e é o tema do quarto e último livro das Instituzioni analitiche. Hoje o chamamos de resolver uma equação diferencial.

Um problema de 1638

Um dos primeiros problemas desse tipo foi proposto em 1638 por Florimond de Beaune, um jurista francês amador de matemática, a René Descartes. Descartes não conseguiu resolvê-lo completamente. A solução só veio em 1684, quando Leibniz publicou o primeiro artigo sobre o cálculo e mostrou que a curva procurada envolvia logaritmos. Era a prova de que o novo método resolvia problemas que a geometria antiga não alcançava.

A subtangente constante

Um exemplo clássico, desses que se encontram nos manuais da época, usa a subtangente. Num ponto $(x, y)$ da curva, trace a tangente até ela cortar o eixo $x$. A subtangente é a distância horizontal entre esse corte e o pé da ordenada. Como a tangente sobe $y$ ao longo dessa distância, a inclinação é $y' = \frac{y}{s}$, ou seja,

$$s = \frac{y}{y'}.$$

Qual curva tem subtangente constante, igual a $k$ em todos os pontos? A condição é $y' = \frac{y}{k}$. Separando as variáveis, isto é, pondo tudo o que depende de $y$ de um lado e o que depende de $x$ do outro:

$$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{k} \quad\Longrightarrow\quad \ln y = \frac{x}{k} + C \quad\Longrightarrow\quad y = A\,e^{x/k}.$$

A curva de subtangente constante é a exponencial, que na época se chamava “logarítmica”.

A versiera também é solução

A própria curva de Agnesi resolve uma equação diferencial. Com $a = 1$, $y = \frac{1}{1 + x^2}$, e a derivada é

$$y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = -2x \cdot \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)^2 = -2x\,y^2.$$

Ou seja, a versiera é a curva em que a inclinação da tangente em cada ponto é $-2x$ vezes o quadrado da altura. No exercício abaixo, fazemos o caminho inverso: partimos dessa propriedade e reencontramos a curva.

Exercício: reencontrar a versiera

Resolva a equação $y' = -2x\,y^2$ com a condição $y(0) = 1$.

Separando as variáveis: $\frac{dy}{y^2} = -2x\,dx$. Integrando os dois lados: $-\frac{1}{y} = -x^2 - C$, ou $\frac{1}{y} = x^2 + C$. Em $x = 0$, $y = 1$, então $C = 1$. Logo $y = \frac{1}{1 + x^2}$, a curva de Agnesi.

Exercício: a subnormal constante

A subnormal num ponto da curva é a distância horizontal entre o pé da ordenada e o ponto onde a reta normal (perpendicular à tangente) corta o eixo $x$. Ela vale $y\,y'$. Qual curva tem subnormal constante igual a $k$?

A condição é $y\,y' = k$. Separando: $y\,dy = k\,dx$, e integrando: $\frac{y^2}{2} = kx + C$. A curva é $y^2 = 2kx + 2C$, uma parábola com eixo horizontal. Com $k = 2$, por exemplo, sai $y^2 = 4x + 2C$.

Fontes: Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, vol. II (1749), livro IV · Gottfried Wilhelm Leibniz, “Nova methodus pro maximis et minimis”, Acta Eruditorum (1684) · Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1972), cap. 21.

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